01 junio 2021

Lógica y estadística divertidas

 

Los análisis deficientes de los datos, así como el abuso y la mala interpretación de la estadística suelen dar lugar en muchas ocasiones a divertidas conclusiones como las que se exponen aquí en forma de chistes. Pero lamentablemente estos errores, a veces involuntarios y otras veces tendenciosos, aparecen con cierta frecuencia de estudios científicos supuestamente serios. O aun peor, en la publicación de muchos bulos y noticias  que tratan de utilizar argumentos de forma tramposa para ganar adeptos a alguna causa, basándose en falacias y datos estadísticos mal interpretados, mal cocinados o directamente crudos, para que la audiencia concluya lo primero que se le ocurra, que suele ser lo que está más dispuesta a creerse (1).

La estadística es una magnífica herramienta en cualquier investigación que se base en el análisis y tratamiento de datos. Lo mismo puede decirse de la lógica. Los profesionales que las manejan son dignos de admiración. Estos chistes no pretenden burlarse de la estadística y los estadísticos, sino todo contrario. Son una parodia de la mala utilización o comprensión  que muchas veces se hace de esta disciplina.

Entre estas “trapalladas” lógicas encontraremos aquí, por ejemplo, el peligro de las operaciones aritméticas con números muy distintos de diferente grado de imprecisión (el chiste de los indios), la inferencia de conclusiones ilógicas a partir de premisas ciertas (el chiste de la araña, las estadísticas del tráfico), la tendencia a confundir la media aritmética u otras medidas de centralización con un dato real (los estadísticos de la foto o de los conejos) y, especialmente, la mala costumbre de ver causalidad donde, de momento, sólo hay correlación (los piratas y el cambio climático).

Y a continuación, a ver si nos reímos un poco.

    

(1) - Aprovecho para recomendar la lectura de dos grandes en este tema y un par de libros de cada uno: Martin Gardner (¡Ajá! Paradojas y La ciencia: lo bueno, lo malo y lo falso) y John A. Paulos (El hombre anumérico y Un matemático lee el periódico)

 

 

 


 

Un estudioso del comportamiento animal experimenta con una araña. Le arranca una patita y suelta el animal sobre la mesa de su laboratorio. Posteriormente, ordena al arácnido:

- Araña ¡Ven!

La araña se le acerca y el científico toma nota. A continuación, le amputa otra extremidad y repite la llamada:

- Araña ¡Ven!

La araña se le acerca nuevamente y el científico vuelve a tomar nota. El científico sigue quitando patas y repitiendo el ensayo. Aunque el movimiento de la araña es cada vez más errático, sigue obteniendo los mismos resultados que anota cuidadosamente en su cuaderno, hasta que el científico arranca al artrópodo la octava y última pata, momento en que vuelve a colocarla sobre la mesa y ordena por octava vez:

- Araña ¡Ven!

La araña ni se mueve. Entonces, lleno de satisfacción por hallarse ante un gran descubrimiento, el científico anota en su cuaderno: "Las arañas, al perder todas sus patas, se quedan definitivamente sordas".

 

 

Un bioestadístico decide llevar a cabo un experimento completo sobre los efectos del alcohol en la conducta humana. Para ello, el primer día ingiere diez cubalibres y se emborracha. Una semana después, se bebe una decena de combinados de ron con Coca-Cola, y vuelve a experimentar los mismos efectos perniciosos. En sucesivas semanas, repite el ensayo mezclando el mismo refresco con vodka, brandy, whisky y otras bebidas de alta graduación. Finalmente, publica un artículo en el que afirma que lo que embriaga es la Coca-Cola, ya que es el único producto que había en común en los diferentes combinados.

 

 

- “Tengo una suerte fatal jugando a la loto. Todas las semanas echo 100 boletos y nunca me ha tocado nada”.

- “Hombre, tal vez tendrías más suerte si los rellenases con combinaciones diferentes”

 

 

- “Hoy es el día de mi boda. Teniendo en cuenta que ayer no tenía esposa y hoy ya tengo una. Extrapolando la curva, dentro de un mes tendré ya más de treinta”. (Jack el extrapolador)

 

 

Tres estadísticos salen a cazar conejos. El primero le dispara a uno pero se le desvía el tiro un metro por la izquierda, a continuación dispara el segundo y se desvía un metro por la derecha. El tercero, en vez de probar a disparar, levanta triunfal los brazos y exclama ¡Le hemos dado!.  

 

 

El 12,3 % de las estadísticas son falsas y el 33,5 %  no sirven para nada

 

 

El 20% de las muertes son causadas por el tabaco. Eso significa que el 80% no son debidas a esta causa, con lo que se concluye que es mejor fumar que no hacerlo.

 

 

Está comprobado más allá de toda duda que fumar es la causa principal de las estadísticas.

 

 

Estadísticamente, cada persona tiene un seno y medio pene.

 

 

La ciudad del Vaticano tiene dos Papas por kilómetro cuadrado

 

 



 

Mirando las estadísticas, un hombre preocupado por los ataques terroristas encontró que la probabilidad de que hubiese una bomba en su vuelo era de 1 entre 1.000, mientras que la probabilidad de que hubiese dos era tan sólo de 1 entre 100.000. Para viajar más tranquilo, ahora suele viajar en avión llevando consigo su propia bomba.

 

 

La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que pasas en la calle. Por tanto, cuanto más rápido circules, menor es la posibilidad de que tengas un accidente.

 

 

El alcohol está implicado en el 33% de los accidentes mortales. Esto significa que el 67 % restante ha sido causado por personas sobrias. Así, está claro que la forma más segura de conducir es borracho, y además a gran velocidad, como ya se ha demostrado antes.

 

 

En los accidentes ferroviarios, el mayor número de víctimas suele producirse en el último vagón. Por consiguiente, una forma de salvar vidas humanas es retirar el último vagón de cada tren.

 

 

La esterilidad es hereditaria. Si tus padres no tuvieron ningún hijo, lo más seguro es que tú tampoco los tengas.

 

 

La tasa de natalidad duplica la de mortalidad. Así pues, una de cada dos personas es inmortal.

 

 

Casi el 100 por 100 de los adictos a la heroína y la cocaína bebían leche de pequeños. Por lo tanto, la leche es una sustancia que incita al consumo de drogas en casi el 100% de los casos.

 

 

En Nueva York, un hombre es atropellado cada 10 minutos. El pobre tiene que estar hecho polvo.

 

 

"Según las estadísticas, el principal candidato a sufrir un accidente doméstico es un varón de 24 años, andaluz, de profesión camarero, que un sábado a las 11'30 de la mañana se dispone a hacer bricolaje en el bar"

Literalmente escuchado en el programa de divulgación "A su salud", en TVE. Febrero de 1999. Parece que se les ha ido un poco de las manos la interpretación de los parámetros estadísticos. No quiero ni pensar la noche que pasaría algún joven camarero andaluz que tuviese que que ir a hacer chapuzas al bar al día siguiente después de haber oído esto en la tele.

 

 

Correlación y causalidad

 


El gráfico muestra los resultados del estudio de investigación realizado por  B. Henderson, el creador de la “Iglesia Pastafari”, con la intención de ridiculizar los argumentos falaces empleados frecuentemente por los creacionistas. Como se puede apreciar, existe una estrecha correlación lineal, científicamente documentada, entre el aumento de la temperatura global de nuestro planeta y el descenso del número estimado de piratas durante los últimos 150 años.

A la vista de estos resultados, ¡Exijamos todos a los gobiernos y organismos internacionales competentes que adopten inmediatamente las medidas necesarias para  fomentar la piratería en todos los mares, si de verdad queremos frenar el cambio climático y salvar el planeta!

 

Otro estudio estadístico veraz ha demostrado una similitud increíble entre los gráficos que representan el número de ahogados en piscinas en los EE.UU. durante los últimos años y  el número de apariciones del actor Nicolas Cage en películas. Ambos sucesos están claramente correlacionados.

¿Cuál debe ser la conclusión? ¿Cuánto más se ahoga la gente, más ganas le entran a Nicolas Cage de rodar películas? ¿Los espectadores se ahogan decepcionados por las actuaciones de Nicolas Cage? ¿Algún tercer factor que ignoramos está provocando a la vez  que Nicolas Cage trabaje más de la cuenta y que la gente se ahogue más de lo normal?. O tal vez sea razonable pensar que si buscamos correlaciones entre miles de pares de acontecimientos independientes emparejados al azar, es muy probable que uno o dos pares vayan a coincidir aceptablemente bien. 

                                    

 

 




14 mayo 2021

La Tierra es redonda (III) ¡Vamos a medirla!

 

El experimento de Eratóstenes para medir el tamaño del globo terrestre es un precioso recurso didáctico tanto por su sencillez como por su valor histórico y científico. Te aseguro que cualquiera que lo quiera reproducir, no podrá dejar de sentir la emoción de ser capaz de medir de una forma tan sencilla algo tan grande como el planeta en el que vivimos. El procedimiento original está al alcance de cualquiera: niños, jóvenes o adultos; estudiantes, profesores u otras personas; aunque, como veremos, su adaptación para no depender de la situación del trópico es un poco más compleja. En cualquier caso, el único material que se necesita es un palo recto, un metro y ¡que salga el día soleado!  

A continuación resumo algunas de las medidas que he realizado con mis alumnos, con sus adaptaciones y resultados, y finalmente facilito un sencillo guión para que cualquiera que lo desee pueda medir la Tierra por sí mismo y sin dificultad alguna.

 

La medida desde O Barco de Valdeorras y Huelva

La primera vez que medimos el radio de la Tierra, lo hicimos sin asumir la premisa de Eratóstenes de que en el trópico de Cáncer el Sol incidía verticalmente al mediodía del solsticio de verano. Aunque este hecho, además de ser cierto, facilita muchísimo el procedimiento, creímos oportuno no tenerlo en cuenta para darle así más protagonismo a nuestros propios datos experimentales. En vez de viajar al desierto de Mauritania para comprobarlo, realizamos dos medidas simultáneas de la longitud de la sombra de un poste vertical al mediodía en dos localidades distantes del mismo meridiano: En O Barco de Valdeorras (Ourense), donde estábamos nosotros, y en la ciudad de Huelva, gracias a la colaboración de otro Instituto. Las dos medidas de las sombras fueron realizadas bajo un  sol radiante, asegurando la verticalidad del poste y la horizontalidad del suelo, justo a la hora del mediodía solar, en dos puntos de la Tierra de diferente latitud  pero igual longitud, y en el mismo día, muy próximo al solsticio de verano, aunque esta última condición no fuera estrictamente necesaria.  Con los datos conocidos de la longitud de los postes, la distancia entre localidades, y las medidas de la longitud de sus sombras; manejando la trigonometría elemental se pudo hallar inmediatamente el radio de la Tierra.

El valor obtenido par el radio terrestre fue: R= 6.157 km, que difiere tan sólo un 3,3% del valor real, y que queda dentro del margen de imprecisión de la medida, estimado en ±300 km.

 

La medida desde Nájera y Melilla

La medida en esta ocasión fue llevada a cabo dentro de un proyecto más amplio que pretendía no sólo “medir” la Tierra sino también “pesarla”. El radio de la Tierra se obtuvo experimentalmente con una adaptación del experimento de Eratóstenes totalmente similar al anterior. Con la medida experimental de la aceleración de la gravedad a partir de la oscilación de un péndulo, el valor conocido de la constante gravitatoria G y el valor del radio recién medido se halló la masa terrestre y, ya de paso, su densidad. En esta ocasión, las dos latitudes del mismo meridiano en donde se realizaron las medidas de las sombras fueron en nuestra localidad de Nájera (La Rioja) y en la ciudad de Melilla, de nuestros colaboradores. Los datos y los resultados obtenidos en esta ocasión fueron los siguientes:


Para el radio terrestre: R= 6.104 km (4,2% de error y dentro del margen de imprecisión estimada de ±300 km)

 Y para la gravedad, la masa y la densidad de la Tierra:

g = 9,79 ± 0,02 ms-2  (e = 0,10%)      

M= 5,466.1024 kg  (e = 8,5%)

d= 5.774 kg/m3  (e = 4,7%)

 

En este enlace se pueden encontrar todos los detalles de este proyecto.

https://drive.google.com/drive/folders/14OfmuU_tQKdwNTjL0HqCPdkiDlHELYm6

 

El Proyecto La Medida del radio de La Tierra”.

En este proyecto, promovido por Aster - Agrupació Astronòmica de Barcelona con motivo de la celebración del 2009-Año Internacional de la Astronomía, participaron más de 600 centros escolares, mayoritariamente de España. El  26 de marzo de dicho año participaron todos en una realización conjunta y coordinada del experimento de Eratóstenes para obtener la medida del radio de la Tierra.

Para hacer esta medida, cada una de las escuelas participantes, situadas en diferentes longitudes y latitudes, midió el ángulo de inclinación solar a partir de la altura y de la sombra de un listón vertical justo en el momento del mediodía solar del lugar (momento en que la longitud de la sombra es mínima) y reportó su distancia al paralelo 40º. Recabados estos datos, fueron procesados a continuación para obtener una medida conjunta del radio de La Tierra. Las medidas en esta ocasión, ni pertenecían al mismo meridiano ni se tomaron en el solsticio, pero a cambio no fueron simultáneas, ya que era necesario hacer cada una justo en el instante del mediodía solar de cada localidad.

 El resultado, R = 6.561 km, con un error del 3%, resultó ser bastante exacto.

 


Lamentablemente, la URL que enlazaba con el proyecto de 2009AIA La Medida del radio de la Tierra, ha sido usurpada por una página web de astrología y adivinación.  De todos modos, en estos enlaces queda información del proyecto y sus resultados:

 http://relojesdesol.info/files/AIA-IYA2009_La-medida-del-radio-de-la-Tierra_informe-final.pdf

https://drive.google.com/drive/folders/14OfmuU_tQKdwNTjL0HqCPdkiDlHELYm6

 

¿Te animas a medir tú mismo el tamaño de la Tierra?

Es fácil, tanto si haces la medida en solitario como en equipo y, y además seguro que te parecerá emocionante reproducir la experiencia de Eratóstenes más de 2.200 años después.

Lo más sencillo es, tal como hizo Eratóstenes en su momento, hacer una única medida de la sombra horizontal de un poste o cualquier otro objeto vertical de altura conocida, en la hora exacta del mediodía solar en el día del solsticio de verano, cuando en el punto de tu meridiano situado en el trópico, el sol incide perpendicularmente (necesitarás conocer los datos del mediodía solar en la fecha y la latitud de tu lugar y su distancia al trópico, datos que podrás obtener fácilmente). Aquí tienes una sencilla ficha para seguir el procedimiento:

https://drive.google.com/drive/folders/14OfmuU_tQKdwNTjL0HqCPdkiDlHELYm6

La otra opción, más laboriosa, es la de hacer la medida del ángulo de inclinación solar  al mediodía por el mismo procedimiento de la sombra de un poste vertical, pero en dos lugares de distinta latitud, distanciados por lo menos 500 km de N a S. Esta opción tiene la ventaja de que no da por supuesto el resultado de la medida en ninguno de los dos sitios, y además constituye un buen motivo para emprender un trabajo colaborativo entre personas de diferentes lugares. Es deseable, aunque no imprescindible, que los dos lugares estén alineados en el mismo meridiano. Pero sí es necesario que la medida se haga el mismo día o como mucho tres días de diferencia si es que está nublado, y que sea a la hora exacta del mediodía solar de cada lugar en esa fecha. Esto último puede saberse consultando el dato, deduciéndolo a partir de la longitud del meridiano o, aun mejor, determinándolo experimentalmente (momento en que la longitud de la sombra se hace mínima). El procedimiento detallado podrás adaptarlo inspirándote en los enlaces a los proyectos descritos en los epígrafes anteriores.

¿Te animas a medir el tamaño de la Tierra con tan sólo un palo y un metro? ¡Buena suerte y que lo disfrutes!

 


29 abril 2021

La Tierra es redonda (II). La medida de Eratóstenes

 

Decíamos en la entrada anterior que fue hace ya más de 2.250 años cuando tuvo lugar el gran acontecimiento científico que demostró la redondez de la Tierra y permitió medir por primera vez el tamaño del globo terrestre. Esta proeza fue realizada por Eratóstenes de Cirene gracias a su célebre experimento de la medida de la circunferencia de La Tierra. Esta medida, que de forma sorprendentemente adelantada a su tiempo sigue las pautas del moderno método científico y pone las matemáticas al servicio del conocimiento de la naturaleza,  es considerada justamente por muchos como uno de los experimentos más bellos y trascendentales de  la Historia de la Ciencia.

 

Pero ¿quién era Eratóstenes?

Eratóstenes de Cirene ( 275 – 193 a J.C.) fue un célebre matemático, astrónomo y geógrafo griego de la Grecia helenística que vivió en Alejandría.   Fue, junto a Hiparco y Tolomeo, uno de los grandes sabios alejandrinos. Destacó en todos los géneros del saber, hasta el punto de ser apodado por algunos con el nombre de “pentathlos” (atleta que disputaba las cinco luchas de los Juegos Olímpicos). Fue orador, poeta, matemático, filósofo, pero ante todo fue el precursor de la geografía matemática, la geodesia de hoy en día, al ser el primero en aplicar un método científico de medida para demostrar la curvatura de la superficie terrestre y determinar por vez primera la longitud y el radio de su circunferencia.

Eratóstenes nació en Cirene alrededor del año 275 a. J.C., lugar en el que comenzó sus estudios de orientación literaria. Se desplazó más tarde a Atenas a completar su formación en el Liceo y en la Academia, donde fue discípulo de Aristóteles entre otros.

Cuando ya gozaba de cierta fama como literato y filósofo, fue llamado por el rey Tolomeo III Everjetes a Alejandría, ciudad donde permanecería hasta el final de su vida. Allí fue encargado de la educación de Filopator, el hijo y sucesor del rey. Fue nombrado sucesivamente  Maestre del Museo y Director de la Biblioteca de lejandría, el gran centro del saber de la época helenística. Esto acontecía en el año 255 a. J.C. tras la muerte de Zenodoto, su anterior director, y a este periodo se deben sun principales aportaciones en los campos de las matemáticas y la geografía.

Eratóstenes murió en esta ciudad alrededor del año 193 a. J.C. superando los ochenta años de edad y rodeado de gran prestigio. Se dice que, afectado de ceguera en su vejez, se suicidó al comprender que no podría volver a leer más.

 

La obra de Eratóstenes

De sus obras científicas tan sólo han llegado a nuestros días fragmentos y resúmenes aportados por otros sabios helenísticos como Papo, Estrabón o Tolomeo (1). Aunque fue Estrabón el que más atención dedicó a los escritos de Eratóstenes, Tolomeo los sintetizó en el Almagesto, junto a los demás conocimientos de la época.

Según algunos autores (Sarton 1970), sus aportaciones al campo de la Geografía estarían incluidas en un tratado “Sobre la medida de la Tierra”, en el que describiría su famoso experimento de la medida del meridiano, y en las “Memorias Geográficas”. Estas memorias constarían de tres partes: Una introducciópn histórica, otra de geografía matemática y una tercera de mapas y geometría descriptiva; y de ellas cabría destacar como principales las aportaciones siguientes:

1.- La medida de los 24º de oblicuidad de la eclíptica y la consiguiente delimitación de zonas geográficas polares y tropicales según su latitud.

2.- Su pensamiento sobre la inmutabilidad de la la esfericidad de la Tierra, estimando insignificantes los accidentes geográficos y las catástrofes geológicas.

3.- Una documentada colección de datos de habitantes y productos naturales de distintos países.

Como se ha dicho antes, Eratóstenes hizo incursiones importantes en otras áreas del Saber. A él se debe un calendario de 365 días y un cuarto (calendario juliano) donde introdujo años bisiestos y trató de situar acontecimientos políticos y culturales. En las Matemáticas es conocido como el creador de la “Criba” que lleva su nombre, algoritmo que permite obtener los números primos, y también como inventor de un aparato de cálculo de proporcionalidades llamado “mesolabio”. Finalmente, ya en un segundo plano, se podrían citar aportaciones suyas a la teoría de la Música, la Poesía o la Filosofía.

 

El procedimiento para medir la circunferencia de La Tierra

Eratóstenes tuvo conocimiento de que en un lugar del alto Nilo llamado Siena (en la actual ciudad de Asuán), unos 800 km al sur de Alejandría, en el mediodía del solsticio de verano, los rayos del Sol incidían perpendicularmente en el suelo horizontal, hecho que quedaba patente al poder observarse su reflejo en la superficie del agua de un pozo profundo (2). Esto no sucedía así en Alejandría, en donde podía comprobarse en ese momento cómo los rayos de sol incidían oblicuos sobre el suelo llano  produciendo sombras.

Admitiendo que los rayos del Sol llegan paralelos a la Tierra, dada su lejanía, este hecho  sólo sería explicable si la superficie de la Tierra estuviese curvada. Partiendo de la hipótesis más probable de que la curvatura de la Tierra fuera esférica, y sabiendo que los dos lugares alineados en dirección norte-sur pertenecerían a la misma circunferencia (meridiano), Eratóstenes dispuso un método tan sencillo como ingenioso para medir dicha circunferencia  y así hallar la verdadera dimensión de la Tierra (ver figura).

El mismo día y a la misma hora en que en Siena los rayos de sol llegaban perpendiculares y alcanzaban lo más hondo del pozo,  incidían en Alejandría con una inclinación α proporcional a la longitud d del arco de la circunferencia terrestre que pasa por ambas localidades. Conociendo α y d, y llamando α max  al ángulo de la circunferencia completa, la longitud total de la  circunferencia terrestre L se puede obtener con una simple relación proporcional (3): 

α / α max  = d / L

El procedimiento para medir la inclinación del sol α fue colocando un “gnomon”, en esencia un objeto recto de altura h conocida, colocado verticalmente, que proyecta una sombra sobre el suelo horizontal cuya longitud s es proporcional a α. Obtuvo así una medida de α = 1 / 50 de circunferencia  (unos 7º 12’)

La distancia d fue estimada en 5000 estadios. No está claro como dio con ese valor. Pudo ser  talonada por algún agrimensor o tal vez a partir del tiempo invertido por las caravanas que hacían el viaje entre ambas ciudades.

De este modo, aplicando la proporción  1 / 50 = 5.000 / L  , resulta L = 250.000 estadios,  

resultado que, según los escritos que relatan su medida, fue corregido por él mismo por el valor:

L = 252.000 estadios

 

Análisis e importancia de su resultado

A pesar de lo que se dice en algunos libros y artículos que relatan este célebre experimento, lo cierto es que resulta imposible saber con certeza cuál fue la exactitud de esta medida (TATON, 1985)

Existen importantes imprecisiones en el propio procedimiento, tales como la medida de la distancia entre Siena y Alejandría y el hecho de que estas no estén exactamente en el mismo meridiano, sino que haya una diferencia de 3º.

También se desconoce el valor exacto de la unidad de longitud empleada, el estadio, por varias razones. Esta unidad se definía como múltiplo de otras unidades antropomórficas subjetivas como el pie o el codo; además todavía existe la duda de si los 250.000 estadios obtenidos se refieren a estadios griegos (600 pies) o egipcios (300 codos), equivalentes respectivamente y de forma estimada a 185 y 158 metros.

Teniendo en cuenta estas equivalencias se obtendría un resultado de 46.620 km o bien de 36.690 km, frente al valor real medio de 40.120 km que sabemos que tiene la circunferencia terrestre.

Admitiendo en el mejor de los casos que utilizase el estadio egipcio, y que la equivalencia utilizada sea correcta, habría obtenido la medida de la Tierra con una precisión asombrosa con solo un 1 % de error. Sin embargo habría que entender  el resultado como una casualidad fruto de errores que se compensan entre sí dentro de un margen amplio de imprecisión (4).

Ante toda esta incertidumbre nos tendremos que conformar con acotar el error de la medida realizada por Eratóstenes entre el 0,5 y el 17% de su valor real, lo que aun en el peor de los casos vendría a ser una aproximación muy estimable, dados los medios a su alcance.

De cualquier manera la gran aportación de Eratóstenes no fue tanto el resultado numérico obtenido como la propia idea y el procedimiento para medir la forma y el tamaño de La Tierra, idea considerada hoy, sin duda, como uno de los grandes hitos de la Historia de la Ciencia.

 

NOTAS:

(1).- La lista completa de obras atribuidas a Eratóstenes y los fragmentos que de ellas se conservan se encuentran en la “Eratosthenica” de Bernhardy (Berlín, 1822), completada por Hiller en 1872.

(2).-  Esto hace pensar que el lugar del pozo debería estar muy próximo a lo que hoy se sabe que es la latitud del trópico de Cáncer. Payer, en el libro “The well of Eratosthenes” sostiene que el referido pozo no estaría exactamente en Siena sino en Elephantina, una  la isla del Nilo cercana.

(3).-  Parece ser que Eratóstenes utilizaba como grado angular 1/60 de círculo y no 1/360 como solemos utilizar actualmente. De cualquier manera esto es irrelevante al considerar la fracción  α / α max 

 (4).- En la realidad la distancia d entre Siena y Alejandría es de 5.346 estadios egipcios y no los 5.000 que estimó Eratóstenes. Casualmente esa discrepancia es casi igual a la corrección que habría que hacer para solventar la diferencia de 3º de los  meridianos de ambos lugares.

 

FUENTES:

SARTON, G. (1970) A History of Science. Vol 1, 2. Cambridge (Mass.)

TATON, R. (1985) Historia General de las Ciencias. Vol 1. Destino

VV.AA. (1981) The New Encyclopaedia Britannica. Micr.vol.3, macr. Vol.6

VV.AA. (1977) Historia de la Ciencia. Vol.1 Planeta

VV.AA. (1979) El Universo y La Tierra. Vol.1. Labor

VV.AA. (1973) Enciclopedia Universal Ilustrada. Espasa Calpe