Buscando una descripción realista del movimiento de caída de los cuerpos
Efectivamente. La respuesta intuitiva es la correcta. El elefante de
carne y hueso cae más rápido. Sin embargo, la diferencia no es tan grande como
puede parecer en un principio. Lo cierto es que si los dos elefantes cayeran
desde una altura de 20 m, en el momento en que el elefante real llegase a tocar
el suelo, el de porexpán, de igual forma y volumen pero de masa y densidad
mucho menores, aun le faltaría un metro y medio para llegar. Sin embargo, si
hubiesen caído en el mismo lugar pero en ausencia de aire, en el vacío, habrían
llegado ambos exactamente a la vez y apenas dos milésimas de segundo antes.
Esta respuesta se la debía a un
alumno de 4º de ESO que hace dos cursos formulaba, literalmente, tal pregunta
en clase. Espero que si alguna vez lee esto pueda darse por satisfecho, ya que
mi contestación en su momento (que por la cara que puso no debió de convencerle
demasiado) respondía más a una idea simplificada del movimiento de caída en el
aire que a una descripción de cómo se caen realmente las cosas. A veces los
profesores pecamos de explicar los fenómenos físicos reales, como la caída de
un cuerpo en el aire, aplicando modelos o simplificaciones que a veces son
excesivas o incluso injustificables. Los modelos teóricos son eso, modelos. Se
proponen para unas condiciones ideales en las que son válidos, pero fuera de
ellas no funcionan tan bien, o directamente no sirven.
Caída libre ¿Caída real?
El modelo de la caída libre de
los graves en la superficie de la Tierra, que asegura que la aceleración constante
de caída (g = 9,8 m/s2) es la misma para todos independientemente de
su masa, forma o tamaño, es válido para cualquier cuerpo que caiga en el vacío;
pero en el caso de la caída real a través del aire de la atmósfera, que todos
podemos observar cotidianamente en nuestro entorno, ese modelo sólo es
aceptable cuando se trata de cuerpos aerodinámicos, de masa y densidad
suficientemente grandes, y durante los primeros instantes de su caída. Por otra
parte, la aproximación a la caída real de la que echamos mano los profesores
cuando queremos explicársela científicamente a los alumnos, asegura que el
rozamiento contra el aire, que va aumentando a medida que aumenta la velocidad,
hace que su aceleración vaya disminuyendo hasta alcanzar una velocidad límite a
partir de la cual el cuerpo sigue cayendo con movimiento uniforme. Esta fuerza,
además de la velocidad, depende de la forma y volumen del objeto, pero no de
su masa. Por eso una pelota de tenis cae igual de rápido que otra llena de agua
(así solemos demostrarlo experimentalmente alguna vez en el aula).
Pero… ¿de
verdad nos tenemos que creer que un gran globo hinchado con aire va a caer
igual que otro de igual tamaño lleno de agua? o, como decía el alumno, que un
elefante y otro de porexpán ¿van a caer igual de rápido? Como decíamos, no
podemos extrapolar modelos o simplificaciones a situaciones que caen fuera de
su marco de aplicación. Y lo cierto es que sí, que la aceleración de la caída
en el aire sí que depende de la masa. Otra cosa es que, según en qué
condiciones, este efecto sea más o menos apreciable.
Entonces ¿hay alguna manera más realista y exacta de describir la caída de los
cuerpos en nuestro entorno?, ¿qué variables influyen y en qué medida?, ¿cuándo
podemos asimilarla a una caída libre? Y ¿cuáles son las ecuaciones que nos
permiten hallar aceleración, velocidad y altura y tiempos de caída reales según
este modelo? A continuación nos ocuparemos de dar respuesta a todas estas
preguntas.
Cinemática de la caída vertical de un cuerpo a través del aire.
Una buena aproximación mucho más
realista que el modelo de la caída libre para describir la caída vertical real
de los cuerpos consiste en tratarla como el movimiento de un cuerpo de masa m, densidad d y sección transversal A cayendo con velocidad creciente v a través de un fluido gaseoso (el aire)
de densidad df . Para evitar demasiada complejidad, aceptaremos las siguientes aproximaciones, que son perfectamente asumibles:
- Aire homogéneo a temperatura ambiente que opone
una fricción proporcional al cuadrado de la velocidad, despreciando efectos aerodinámicos
secundarios y turbulencias.
- Cuerpo esférico de sección transversal circular
y sin rotación.
- Gravedad superficial terrestre g, constante durante la caída.
Aceleración de caída:
El cuerpo que cae a través del
aire está sometido a la fuerza F resultante
de tres fuerzas que darán lugar a tres componentes en su aceleración a :
P = m . g
E = df . g . V
Fr = 0,2 . df . A . v2
La fuerza resultante y la aceleración que ésta originana serán:
F = P - E - Fr = m . a
a = F / m = mg / m – E / m – Fr / m = g – ( df . g . V / m ) – ( 0,2 . df
. A . v2 / m )
a = g – ae
– ar
Dado que g y ae son
constantes y ar va
creciendo desde cero a medida que el cuerpo gana velocidad, el cuerpo realmente
empieza a caer con una aceleración inicial a0
= g – ae y su aceleración
instantánea va disminuyendo, si no llega antes al suelo, hasta que ar = a0. La velocidad
alcanzada en ese instante ya no aumenta más, se dice que ha alcanzado su velocidad límite, y continúa su
descenso con movimiento uniforme.
Vamos a analizar a continuación,
una por una, estas tres contribuciones a la aceleración que van a determinar las
velocidades y los tiempos de caída, y las aplicaremos a un cuerpo de densidad d y forma esférica ( V = 4/3.π.R3 , A = π.R2
) que se deja caer en la superficie de la Tierra ( g = 9,8 m/s2) en aire a temperatura ambiente (df = 1,2 kg/m3).
1.- Aceleración por efecto de la gravedad (g)
g = P /m = m
. g / m = g
La gravedad acelera a cualquier
cuerpo por igual, independientemente de su masa o tamaño, como ya sabíamos. Si
suprimiésemos el aire haciendo el vacío, al quitar los efectos de frenado
debidos al rozamiento y el empuje del fluido, sólo actuaría la aceleración de
la gravedad y en un mismo lugar todos cuerpos caerían al mismo tiempo, con
aceleración constante a = g = 9,8 m/s2, aumentado
ilimitadamente su velocidad de caída proporcionalmente al tiempo. Es lo que se
denomina caída libre.
Ejemplo: lo que se puede comprobar en el experimento de dejar caer
simultáneamente una pluma y una pesa en un tubo vacío) enlace vídeo aquí. O el clásico recurso didáctico
de dejar caer simultáneamente un pesado libro y una ligera pluma dejando caer
estos de tal manera que el libro esté delante para quitarle a la pluma el aire
de frente, privándola así del rozamiento que iba a frenar su caída)
2.- Deceleración debida al empuje del aire (ae)
ae = g . df / d ae
= 9,8 . 1,2 / d = 11,8 / d (u.SI)
El frenado por efecto del empuje
hidrostático que ejerce el aire sobre el cuerpo que cae es inversamente
proporcional a la densidad del cuerpo y constante durante su caída.
Generalmente no llega a afectar más allá del segundo decimal de g, pero para cuerpos de densidades muy
bajas, como grandes cuerpos huecos, puede llegar a ser la principal causa de
que el cuerpo baje lentamente casi sin aceleración inicial
Ejemplo: Un globo hinchado), o incluso que “caiga” hacia arriba (ej: un
globo lleno de helio). En estos casos en que ae sea significativa, la
velocidad límite disminuye sensiblemente y se alcanza más pronto.
3.- Deceleración por el rozamiento del aire (ar)
ar = Fr / m
= 0,2 . df . A . v2 / m
ar
= 0,2 . 1,2 . π .R2
. v2 / ( d .¾R ) = 0,18 . v2 / ( d .R ) (u.SI)
ar va creciendo cuadráticamente con la velocidad de
caída, desde cero hasta hacerse máxima e igual a g-ae cuando se alcanza la velocidad límite. Para una
determinada velocidad de caída, el efecto de frenado por el rozamiento es más
acusado cuanta mayor sección frontal ofrezca y menor masa tenga el objeto que
cae o, lo que es equivalente, cuanto menos denso y más pequeño sea.
Ejemplo: Por ser el rozamiento del aire más importante en comparación con el
peso, se frena más al caer una pelota de playa hinchada con aire que la misma
si se llena de agua (mayor d), y ésta última mucho menos que una gota aislada
de agua (menor R). Por este motivo se justifica el hecho por todos observado de
que una hormiga (ligera y pequeña) cae más despacio que una piedra (densa y grande).
La hormiga acelera menos y uniformiza antes su caída con una velocidad límite
más pequeña. Por este mismo motivo un paracaidista, de gran masa (m), en caída
libre provoca una gran aceleración de frenado en el momento de abrir el
paracaídas al aumentar drásticamente su sección frontal (A).
Obtención de las demás variables
cinemáticas del movimiento
Acabamos de
obtener la aceleración de caída a
= g –
ae – ar en función de la velocidad :
a(v) = a0 – ar(v)
La velocidad límite
vL la obtendremos haciendo a(v)
= 0 y despejando v
La velocidad en función del tiempo v (t) se obtiene integrando la ecuación diferencial que
queda al hacer
a(v) = a0 – ar(v)
= dv / dt
La altura recorrida en
caída vertical en función del tiempo h(t) se obtiene a partir de v(t) integrando
la ecuación diferencial que resulta de hacer
v(t) = dh / dt
A partir de las ecuaciones que hemos obtenido para la
aceleración en función de la velocidad a(v), y para velocidad y altura caída en
función del tiempo v(t) y h(t) , despejando y recomponiéndolas
debidamente, podremos relacionar cada una de estas variables cinemáticas con
cualquier otra. Tanto la tarea de
resolver las ecuaciones diferenciales como la de despejar cada una de las
variables a partir de sus soluciones resultan ser un tanto farragosas, por lo
que se omiten aquí. Si te pica la curiosidad, o te gustan los pasatiempos, el
desarrollo algebraico completo puedes consultarlo haciendo clic en este enlace. Los resultados obtenidos se muestran a continuación:
Ecuaciones del movimiento. Funciones de las
variables cinemáticas a, v, h, t :
Hoja de cálculo para obtener
al instante aceleración, velocidad, altura y tiempo de una caída real.
Las ecuaciones anteriores permiten obtener no sólo la
aceleración, velocidad y altura recorrida en cualquier instante de un cuerpo
que cae en condiciones reales, sino también la velocidad y aceleración que
lleva a cierta altura o el tiempo en alcanzar determinada velocidad o altura.
Pero esto resulta un poco tedioso de llevar a la práctica.
Para hacer estos cálculos al instante y poder comparar
unos con otros he preparado una hoja EXCEL que puedes ver o descargar en la
página de Mis Trabajos de este blog o haciendo clic en este enlace: "CALCULADOR DE CAÍDAS". Con este calculador, partiendo de las
características (masa, tamaño y densidad) de un cuerpo que cae, podrás saber al
instante cuál será su velocidad límite y cuándo la alcanzará, obtener las
gráficas de a, v, h vs. t de su movimiento de caída vertical y,
para una variable cinemática de un punto dado de su caída (a, v, h ó t), el valor que
tienen las otras tres. La hoja, además, compara los resultados de la caída real
(en el aire) con los de una caída libre (en el vacío).
Ejemplos de caídas reales calculadas para algunos objetos
En la tabla siguiente se muestran
los resultados obtenidos con ayuda de la hoja de cálculo para diferentes
objetos que caen verticalmente en el aire desde una altura de 20 m. Resulta interesante comparar las caídas de
objetos pequeños con los grandes, de los densos con los ligeros, cuánto y
cuándo son sus velocidades límite, y en cualquier caso poder comparar los
resultados con la caída libre en el vacío.
Si nos fijamos atentamente en los
ejemplos calculados que aparecen en la tabla, podemos observar que en
condiciones reales y alturas de caída apreciables, si se dejan caer a la vez dos cuerpos desde
la misma altura podremos afirmar que:
- Si tienen igual forma y volumen, acelera menos y
llega más tarde al suelo el más ligero (menor masa)
- Si tienen la misma forma y masa pero diferente
densidad, o sea que uno es más voluminoso que otro, entonces acelera menos y
tarda más en caer el más grande (mayor área o sección)
- Si sólo
se distinguen en la forma, o incluso siendo idénticos caen con diferente
orientación, resulta evidente que tardará más en caer el que ofrezca al aire una
mayor sección frontal A durante su
caída.
En la figura se muestra cómo
sería la “foto finish” de la caída de estos 8 cuerpos, muy diversos en tamaños
y masas, durante el tiempo de una caída libre desde una altura de 20 m. Como se
puede apreciar, los más densos y grandes se aproximan bastante bien a una caída
libre en vacío, mientras que los más pequeños, especialmente los más ligeros se frenan considerablemente.
Como vemos, las ecuaciones del
movimiento de este modelo de caída real en que se basan estos cálculos justifican
y detallan mejor lo que nuestra experiencia e intuición nos hacían ya sospechar de forma cualitativa.
Resumiendo ¿qué hace que unos cuerpos caigan más deprisa que otros?
En el vacío todos los cuerpos
caen con la misma aceleración constante g
(9,8 m/s2), pero este no es el caso de las cosas que vemos caer
todos los días a nuestro alrededor. Para cualquier cuerpo que caiga a través
del aire, el retardo respecto a la caída libre en el vacío se debe a los efectos
del rozamiento contra el aire y del empuje que hace este fluido. En la
mayor parte de los casos, el efecto del rozamiento es más importante que el del
empuje. El retardo debido al rozamiento es más acusado cuanto mayor sea la
velocidad (v), menor sea la masa del
cuerpo (m) y mayor el área de la
sección frontal (A). El efecto del
empuje es fijo y mayor cuanto menor sea la densidad del cuerpo (d).
A medida que un cuerpo desciende
en su caída, la aceleración total va disminuyendo desde un valor inicial que
puede ser casi igual a g (si el
efecto del empuje es despreciable) hasta llegar a anularse en el momento en que
la deceleración creciente debida al rozamiento iguale a la aceleración inicial.
A partir de ese instante y altura, el cuerpo continuará su caída con movimiento
uniforme manteniendo constante la velocidad límite (vL) alcanzada. La
velocidad límite se alcanza antes y tiene un valor más pequeño cuanto menos masa
y mayor sección frontal tenga el cuerpo y mayor sea la densidad del fluido, que
en el caso del aire es inversamente proporcional a la temperatura.
Gráficas
de velocidad y aceleración (obtenidas
con la hoja de cálculo) de las caídas en
el aire de un cuerpo grande y pesado (bola de hierro de 1 kg) y de otro pequeño
y ligero (gota de agua) en comparación con su caída libre en el vacío. La gota
pierde rápidamente su aceleración inicial y alcanza pronto una velocidad límite
moderada. La bola, aunque discrepa algo, se aproxima bastante bien a una caída
libre con aceleración g.
Aproximación de una caída real a una caída libre
La caída real de un cuerpo en el aire se aproximará mejor a
una caída libre en el vacío con la aceleración constante de la gravedad g,
- Cuanto más corta sea la caída (no hay tiempo
para que la velocidad aumente demasiado)
- Cuanto más pesado sea el cuerpo (mayor sea su
masa)
- Cuanto menos ancho sea en la dimensión transversal
a la dirección de caída (menor sección)
- Cuanto más denso sea el cuerpo
A la hora de ver si podemos
describir la caída de un cuerpo como una caída libre ideal con la aceleración
constante de la gravedad, deberíamos valorar antes si la masa, densidad y
anchura del cuerpo, así como la altura o duración de la caída nos van a permitir
hacer esta aproximación con un error que podamos considerar aceptable.
