¿Cuántos granos de arena hay en una playa?

 

¿En serio que nos vamos a poner a contar ahora todos los granos de arena que hay en una playa? Por supuesto que no. Aparte de que a nadie le importa ni falta que hace, hacer ese recuento para obtener un número exacto llevaría un tiempo descomunalmente grande. Pero si aun así tenemos curiosidad por saberlo, hay que decir que lo importante no es la cifra exacta sino su orden de magnitud. Es decir, si estamos hablando de millones, de miles de millones, de billones o de trillones de granos. En casos como este se recurre a hacer una estimación. Estimar una cantidad no es lo mismo que aventurar un valor a ojo, sino que requiere buen criterio, sentido común, seguir unas reglas, hacer algunos cálculos y un poco de creatividad.

Por cierto, he hecho una estimación del tiempo que tardaría una cuadrilla de 200 personas infatigables en contar los granos de arena de la playa descrita en esta entrada, a razón de 2 granos por segundo y sin pararse para comer ni dormir. Les llevaría ¡un millón de años! Para conseguirlo, además de infatigables tendrían que ser inmortales.

La pregunta que encabeza este artículo está tomada de un ejercicio del libro de Física de Tipler, ejemplo del capítulo referido al Orden de Magnitud. (P. Tipler, G. Mosca. Física para la ciencia y la tecnología Vol.1. Reverté. 6ª Ed, 2010). Ejemplo 1.7 pág 13.

Aceptemos pues el reto. Para describir cómo debe abordarse de una forma metódica una cuestión de estas características, vamos a hacer un cálculo estimativo de cuántos granos de arena puede haber en una playa, pero no en una playa genérica, sino en mi playa favorita: La playa de Patos, en el municipio de Nigrán (Pontevedra).

La playa de Patos está situada en la boca de la ría de Vigo, abierta a las aguas frías del Atlántico, pero protegida por las islas Cíes, que se alzan frente a ella ofreciendo una vista espectacular. Por sus buenas olas es un lugar ideal para la práctica del surf.  Puede que no sea la más bonita de las bellísimas playas de las Rías Baixas, pero es mi favorita porque forma parte de mi vida y disfruto de ella todos los veranos junto a mi familia.

Foto: Playa de Patos en Nigrán (Pontevedra). Bonita playa, pero hay demasiada arena como para ponerse contar los granos, ¡qué pereza!, pero no nos vamos a quedar con la duda.

 

 

Estimación del número de granos de arena de la playa de Patos de Nigrán

 

1º Definición concreta del problema

En este caso es preciso establecer qué define la extensión de la playa. Como esto puede ser subjetivo, vamos a considerar la playa como el arenal comprendido desde los límites laterales a los que se refiere la geografía y toponimia de la misma; la anchura comprendida entre la parte superior cuyo límite viene definido por taludes, muros, paseos o caminos y la línea promedio de la orilla entre la bajamar y la pleamar. Es decir, lo que es la playa con ese nombre que por término medio pueden disfrutar los bañistas sin mojarse. Es importante empezar acotando bien el problema, ya que el resultado de la estimación podría ser desde diez veces mayor o disminuir hasta la décima parte.

 

2º Compromiso en la precisión de la estimación

¿Cuánta precisión en el recuento de granos de arena deseamos o podemos realmente alcanzar? Por un lado, la precisión de esta estimación quedaría bastante limitada por la propia arbitrariedad de hasta dónde decidimos que llega la playa, y por la imprecisión añadida debida a las aproximaciones e idealizaciones a las que vamos a tener que recurrir.  Por otra parte, lo que nos interesa saber en este caso no es una cifra más o menos exacta, sino el orden de magnitud que la afecta, ¿unos millones? ¿unos billones? Con eso ya sería más que suficiente.

 

3º Establecer las premisas del cálculo recurriendo a hipótesis y aproximaciones razonables

3.1 Dimensiones de la playa

Como se ve en la figura (tomada de Google Earth), la playa tiene aproximadamente una longitud de unos 1000 m y una anchura de 20 m en sus extremos y de unos 80 m en su parte central. La curvatura de la orilla no es muy grande en comparación con su longitud. Estas distancias se pueden medir en cualquier aplicación de mapas o, en este caso, sencillamente paseando por la playa, a ojo y contando el tiempo. Hay coincidencia.

Para estimar su superficie total podríamos idealizar la forma de la playa como se muestra en el dibujo que se ve que es equivalente al área de un rectángulo de aproximadamente 1000 x 50 m

La estimación más arbitraria es la de la profundidad del arenal. No es uniforme, ya que la capa de arena se va haciendo más gruesa cuanto más nos alejemos de la orilla. Por otra parte, decir hasta qué profundidad de arena se le puede seguir llamando “playa” es una cuestión subjetiva, ¿profundidad hasta tocar el sustrato rocoso?, ¿hasta el nivel del mar en la orilla a media marea? Observando cómo es, más o menos, el terreno circundante y la pendiente media de la playa, hemos hecho una estimación promedio de unos 3 m de profundidad. De cualquier modo, estamos hablando de un orden de magnitud de metros, no decenas ni centenas de metros, con lo que esta estimación no va a ser demasiado relevante en el orden de magnitud del resultado final.

Finalmente, las dimensiones que vamos a considerar son:

• Longitud:  l = 1000 m ; anchura:  a = 50 m ; profundidad: h = 3 m

 

3.2 Forma y tamaño de los granos de arena

Una aproximación bastante razonable es considerar los granos, en su infinidad y diversidad, como si fuesen todos pequeñas esferas iguales de determinado diámetro promedio. Esto facilita indudablemente los cálculos, pero habrá que afinar lo mejor posible el diámetro que vamos a estimar. El tamaño de los granos de una playa varía por zonas: en general son más gruesos cuanto más alejados estén de la orilla del mar y a menos profundidad estén enterrados, mientras que los más finos están hacia el mar y más enterrados en la playa. En este caso estimaremos un diámetro promedio observando el aspecto de los granos de la orilla y los de más arriba, resultando una variedad de tamaños comprendida aproximadamente entre 0,01 y 0,5 mm (esto es fácil de estimar desparramando un poco de arena junto a una reglita milimetrada y la ayuda de una lupa). Tomaremos como diámetro el valor medio.

•  Diámetro de los granos:  D = 0,25 mm

  

3.3 Grado de empaquetamiento de los granos

Los granos se han ido apilando con el paso del tiempo y el efecto de las corrientes, las mareas, el vientol y la gravedad, hasta formar el arenal de la playa. Esto permite suponer que han tenido tiempo para encontrar la forma de empaquetamiento más estable, que es la que menos huecos deja entre unos granos y otros. Como hemos idealizado granos de forma esférica, el mayor grado de empaquetamiento posible es el hexagonal compacto, que tiene un factor de empaquetamiento (razón entre la suma de los volúmenes de los granos y el volumen total que llenan, espacios vacíos incluidos) que es de un 74%.  A la hora de hallar el número de granos totales, tendremos que corregir el cociente entre el volumen de la playa y el volumen de un grano multiplicando por este factor.

•  Factor de empaquetamiento estimado: E = 0,74

 

4º Cálculos y resultado de la estimación

•       Volumen de un grano de arena: V_G

            _VG  = 4p R³ / 3 = 4p (0,25/2)³ / 3  = 8,18 .10^-3 mm³ = 8,18 .10^-12 m³

•       Volumen de playa: V_PV

          V_P = l a h = 1000 . 50 . 3 = 1,5 .10⁵ m³

•       Número de granos de arena: N 

         N = E (V_P / V_G) = 0,74 (1,5 .10⁵ / 8,18 .10^-12) = 1,4 .10¹⁶ granos de arena

Dadas las aproximaciones realizadas y la arbitrariedad en la definición del problema, estaría bien quedarnos sólo con una cifra significativa que en este caso coincide con redondear al orden de magnitud que viene dado por la potencia de diez.

En conclusión, podemos afirmar que la playa tiene aproximadamente unos 10¹⁶ (10 000 000 000 000 000) granos de arena, es decir, unos diez mil billones de granos.

Generalización:

Aprovechando lo razonado en este caso, podemos generalizar una fórmula para estimar el número N de granos de arena de cualquier playa, en función de los valores promedio estimados para la longitud l, anchura a y profundidad h del arenal, y el diámetro D de los granos:

N = 1,44  l a h / D³

Una observación final:

Es curioso el efecto que tendría el resultado final el hecho de haber considerado valores bastante diferentes en las dimensiones de partida, como por ejemplo suponer el doble o la mitad de anchura, longitud o profundidad de la arena, o el doble o la mitad del diámetro de los granos.  Aunque esto llevaría a doblar o reducir a la mitad tamaño de la playa y el número total de granos, no cambiaría significativamente el orden de magnitud del resultado, es decir, seguiríamos hablando igualmente de decenas de miles de billones.

 

Comparativa:

Comparando con otras cantidades estimadas para otros conjuntos, en una playa como la de Patos hay aproximadamente… 

 

Mil setecientos millones de granos de arena por cada persona que hay en el mundo (8,2. 10⁶).

 
Cien mil granos por cada estrella que hay en nuestra galaxia (10¹¹)

 
Diez mil granos por cada galaxia del universo observable (2.10¹²)

 
Pero sorprendentemente, hay mil veces más insectos viviendo en el planeta (10¹⁹) que arenitas reposando en la playa.

 
Y hay nada menos que mil millones de veces más moléculas en un vaso de agua (10^25,) que granos de arena en toda en la playa.

 

 

 

 

 

 

 

 

Recursos útiles para facilitar la experimentación en el aula de FQ

Siempre se ha hablado de la importancia del enfoque experimental en la enseñanza y aprendizaje de la Física y la Química, o al menos de hacer de la experimentación en el aula un complemento necesario para el desarrollo de los contenidos de esta asignatura. Muchos son los profesores que, convencidos de ello, se han empeñado en llevar este aspecto a su práctica diaria en el aula, pese a contar con un cúmulo de dificultades añadidas como el tiempo extra de dedicación que requiere la realización de estas actividades, la disposición de materiales y espacios adecuados o la limitación del horario lectivo para realizarlas. 

Pero el resultado siempre merece la pena. Con los experimentos en vivo y en directo se consigue que las clases sean más interesantes y divertidas, se favorece la participación de los alumnos y se mejora el aprendizaje significativo de los contenidos, pero sobre todo se refuerza la idea de que las ciencias experimentales, como la Física y la Química, van precisamente de observar y explicar lo que lo que sucede realmente en la naturaleza. Ese es su objetivo y a la vez el camino para avanzar en su conocimiento. 

Existen infinidad de recursos para integrar la experimentación a la actividad del aula de Física y Química. Los simuladores, laboratorios virtuales, videos y otros recursos TIC, son sin duda muy útiles y cómodos de utilizar, no ensucian y todo sale siempre como es de esperar. En este campo hay prácticamente de todo, pero recurrir únicamente a estos materiales nos privará de la magia de poder ver y manipular los fenómenos naturales sucediendo en directo ante nuestros ojos.   

Luego está la buena costumbre de acudir al laboratorio para hacer “prácticas” o mostrar experiencias que requieran una logística especial. Las sesiones prácticas en el laboratorio son necesarias, pero no basta. Es difícil llevar a todos los alumnos de un grupo a la vez, o  programar prácticas con una cierta frecuencia, y normalmente estas prácticas quedan desligadas en el espacio y en el tiempo, del desarrollo del currículo que se hace día a día en el aula, por no hablar ya de la dificultad de encajar la práctica a los 45 minutos de la sesión.

¿Cómo acercar entonces un poco más a los alumnos esta dimensión experimental de la asignatura, evitando estos problemas? La solución pasa en gran medida por llevar al aula materiales, experiencias u objetos que conecten con la realidad los contenidos teóricos que se estén explicando en ese preciso momento. Y también, cómo no, optimizando la disposición de espacios, materiales y tiempos cuando los alumnos acudan al laboratorio. De todo esto van los recursos que se comentan a continuación 

Este artículo no es un ensayo sobre didáctica de las ciencias experimentales. Sólo son algunos consejos prácticos para integrar más y mejor la experimentación en el aula de FQ de secundaria. Son recursos que funcionan, o por lo menos, que a mí me han funcionado. Ponerlos en práctica ha hecho que las clases fueran más amenas, mejor aprovechadas y mejor conectadas con la realidad del mundo físico y del entorno cotidiano de los alumnos. Ahí van pues esos consejos.

 

1.- La manipulación habitual de objetos y modelos

Cuando se está explicando en clase cualquier tema resulta muy útil tener a mano los objetos de los que se está hablando o bien modelos de los mismos, para que los alumnos puedan verlos o manipularlos simultáneamente y así reforzar los estímulos, lo que ameniza la explicación y favorece enormemente su aprendizaje. Así que parece una buena idea llevar a clase balanzas, termómetros, probetas para medir objetos mientras se explican las magnitudes y su medida; dinamómetros, cuerdas y bloques reales que arrastrar cuando se trata la dinámica; o también recipientes con moles de diferentes sustancias de distinto aspecto y propiedades cuando se habla de las sustancias químicas y su composición.

Requiere una mención aparte el empleo de modelos atómico-moleculares y de redes cristalinas para estudiar la estructura de la materia y otros temas relacionados como el enlace químico o incluso la formulación y nomenclatura químicas. Estos modelos de “lo que no se puede ver” son imprescindibles para entender bien la conexión entre la teoría atómico-molecular y la materia tal como se presenta realmente ante nuestros ojos. Es conveniente disponer de cajas de modelos didácticos para construir moléculas y redes cristalinas, como el de la foto. Pero también pueden improvisarse con bolas de porexpán, palillos y pegamento, disponibles en cualquier número y tamaño en cualquier bazar, o mismo con bolitas de plastilina de colores. Lo importante es que los alumnos estén viendo, tocando y, si es posible, armando estos modelos mientras se está explicando en clase. Yo particularmente prefiero los modelos que permiten acoplar directamente unos átomos en contacto con otros sin que se vean palillos entre ellos, por ofrecer una imagen más verosímil de las moléculas y especialmente las redes cristalinas, pues en este último caso las varillas resultan engañosas ya que nos pueden incitar a creer que representan enlaces entre átomos o iones y que éstos no están en contacto unos con otros.

 

 2.- Disponer de un espacio bien ordenado con reactivos y material básico.

Para hacer experimentos en clase no es necesario contar con uno o dos grandes laboratorios dotados de abundante y sofisticado material (aunque la verdad es que no viene nada mal). Si por desgracia el Centro no cuenta con un laboratorio escolar mínimamente equipado, no debemos renunciar a hacer experiencias en el aula. Para ello es preciso disponer al menos de un espacio donde poder almacenar el material imprescindible para que puedan trabajar los alumnos en el aula. Recipientes de vidrio, aparatos de medida, materiales de mecánica y electromagnetismo, etc. Lo importante no es que sean caros y sofisticados, sino que haya suficientes para toda la clase (individualmente o pequeños grupos); que tenga un fregadero y toma de corriente eléctrica. Habrá que contar también con un surtido de los reactivos químicos más habituales. Si procuramos que todo este material esté siempre recogido, limpio y bien ordenado, ahorraremos mucho tiempo y trabajo  en preparar nuestras experiencias.

 

 3.- “El carrito de llevar al aula”

Como decíamos antes, es una buena idea tener la costumbre de llevar al aula, casi a diario,  materiales y objetos con los que experimentar y ver de cerca las cosas que se estén explicando en clase en ese momento. Esto puede hacerlo el profesor a modo de exhibición, o experiencia de cátedra que se decía antes, pero también hacer que experimenten los alumnos en pequeños grupos en el momento y sin salir de su aula. Para hacer esto viene muy bien que el profesor tenga a su disposición un carrito auxiliar (como el de la foto) en el que pueda llevar fácilmente al aula el material de los experimentos y demostraciones que haya preparado previamente. Se puede acoplar también al carro algún soporte con varilla, una fuente de calor, una alargadera con enchufes, un recipiente con agua y otro para vertido, e incluso usarlo para transportar instrumental más sofisticado como un sistema de recogida y proceso de datos y un ordenador portátil. La bandeja de arriba puede servir como mesilla desde la que presentar las experiencias. ¡Ah! y no olvidarse de llevar paños y papel absorbente, por si acaso.

 

 4.- Presentar experiencias sucediendo en tiempo real con  LAO

El empleo de un dispositivo de laboratorio asistido por ordenador (LAO) es un recurso que resulta especialmente motivador y que da un valor añadido a la explicación del tema en el aula, ya que permite mostrar ante toda la clase la realidad del fenómeno que se está explicando mientras sucede en ese mismo lugar y momento, a la vez que se generan tablas de datos, gráficos dinámicos, o se induce la ley matemática que lo describe.

El dispositivo consta de una consola de toma de datos, sensores de medida de las magnitudes que se vayan a analizar y un ordenador portátil con el software necesario para presentar y analizar los datos tomados por la consola. Todo ello, junto con el recipiente o montaje donde tiene lugar el experimento, ocupa poco espacio y puede ser llevado al aula fácilmente montado en un carrito para hacer el experimento inmediatamente. Si además se conecta el portátil a un videoproyector frente a una pantalla grande, entonces el resultado es espectacular.

Queda de lujo, por ejemplo, explicar las leyes del calentamiento y cambio de fase mientras se calienta hasta hervir el agua de un vaso ante toda la clase y va apareciendo en tiempo real la curva de la temperatura frente al calor en una gran pantalla; o explicar la neutralización ácido-base con el profesor realizando una valoración volumétrica en medio del aula a la vez que en la pantalla se va desarrollando la gráfica del pH del ácido frente al volumen de base añadido. Esto sólo por citar dos ejemplos. Hay sensores para todo lo que se nos pueda ocurrir: temperatura, presión, luminosidad, pH, conductividad, intensidad de campo magnético, absorbancia, intensidad sonora, velocidad y aceleración, radioactividad, etc.

Foto: Modelo de dispositivo Data Harvest de Easysense con dos sensores de temperatura y uno de intensidad luminosa en un experimento para relacionar la temperatura de una habitación con la luz que recibe a través de la ventana y la temperatura del exterior, cuya evolución  con el tiempo se va registrando en la pantalla del ordenador.

 

 5.- Aparatos de medida y reactivos para todos

Es importante que los alumnos manejen con frecuencia los aparatos de medida y que se familiaricen con ellos. Igualmente sería deseable que medir una magnitud cualquiera como un tiempo, un volumen, las dimensiones de un objeto, un voltaje, una temperatura o el pH de una disolución no fuese un experimento en sí mismo, sino un procedimiento habitual (rutinario) para seguir cualquier experiencia, ya sea en el aula o en el laboratorio. Con la adquisición de estas destrezas instrumentales los alumnos se podrán centrar mejor en el objetivo de las experiencias que estén realizando y a la larga se ahorrará tiempo. Veamos los instrumentos de los que sería recomendable disponer, si no para todos, al menos para compartir en grupos de no más de cuatro individuos.

5.1. Instrumentos para medir longitudes, superficies, volúmenes y tiempos:

Reglas milimetradas de 40  cm y calibres para longitudes y, indirectamente, superficies y volúmenes regulares. Probetas de plástico transparente de 100 mL  para volúmenes. Los cronómetros no son necesarios actualmente, pues los alumnos pueden medir tiempos con sus propios relojes y móviles.

5.2. Instrumentos para medir masas y fuerzas:

Para hacer pesadas de forma rápida y sencilla conviene disponer de unas cuantas balanzas digitales como las de cocina. Con 1000 g y 0,1 g de precisión es suficiente y son resistentes y muy económicas. Para medir fuerzas en módulo y dirección conviene disponer de un buen número de dinamómetros de 1, 5 y 10 N.

5.3. Polímetro digital

El polímetro o multímetro, para medir voltaje, resistencias e intensidad de corriente eléctrica continua o alterna, es un dispositivo muy útil tanto para su uso didáctico como doméstico, que todos los alumnos deberían saber manejar con soltura. Disponer de un pequeño polímetro digital con las tres funciones básicas para cada tres o cuatro alumnos sería suficiente.

5.4. Pehachímetro – conductímetro – termómetro portátil

Este es otro instrumento que da mucho juego para usar en las prácticas de laboratorio o llevarlos al aula. Se trata de un medidor de pH de bolsillo que lleva integrado un medidor de conductividad eléctrica y termómetro para medidas de estas magnitudes en disolución. Aunque resulta un poco más caro que los instrumentos anteriores, y su buen uso y mantenimiento es un poco más delicado, es una buena inversión el disponer de 6 unidades de este  “3 en 1” para que los alumnos de toda una clase los usen en pequeños grupos. Resulta especialmente útil para experimentar y entender mejor el comportamiento ácido base, la disociación electrolítica y la estructura y enlace químico de las sustancias.

5.5. Botes y frascos individuales de reactivos

Un consejo que es clave para que en los 45 o 50 minutos escasos que dura una sesión lectiva dé tiempo suficiente para hacer una experiencia sin que se quede a medio terminar es que cada alumno o pequeño grupo participante en la misma tenga a su disposición todo el material y reactivos preparados en su puesto de trabajo en una bandeja, cesta, o en la misma mesa sobre un papel absorbente. De este modo no se perderá tiempo en ir a buscar estos materiales, en esperar a que otros terminen de servirse antes o en detectar y corregir equivocaciones. En este sentido resulta muy práctico disponer de un buen número de pequeños botes o recipientes donde se presenten, convenientemente etiquetados, los reactivos que se vayan a utilizar en esa sesión en el puesto de trabajo de cada uno. A veces incluso puede convenir presentarlos ya dosificados.

 

 Algunos instrumentos que conviene disponer para uso habitual de los alumnos: pequeños botes y frascos para tener los reactivos listos para utilizar en el momento, polímetro digital, pehachímetro portátil con conductímetro y termómetro incorporado.

 

 6.- Usar el smartphone como instrumento de medida

En muchos casos es posible prescindir del uso de sofisticados y a veces demasiado caros aparatos de laboratorio para hacer medidas en nuestras experiencias de aula. Podemos recurrir a los móviles o smartphones de que disponen la mayoría de los alumnos y que están deseando utilizar a la mínima ocasión.

Aparte de la calculadora y el cronómetro, muy útiles en la mayoría de los experimentos, existen algunas aplicaciones gratuitas que se pueden descargar en menos de un minuto y que agrupan una buena colección de dispositivos para medir diferentes magnitudes. Cito por ejemplo la aplicación Physics Toolbox, con la que podemos medir de forma instantánea y sencilla, entre otras cosas, aceleraciones con sus componentes; ángulos y pequeñas longitudes; intensidades, frecuencias, ondas y espectros de sonidos; intensidades y tonos luminosos; intensidad y dirección de campos magnéticos, etc.

Algunas experiencias típicas donde resulta especialmente útil este recurso para manejar todos pueden ser la medida del periodo de un péndulo y los factores que en él influyen, la exploración del campo magnético local o en torno a una bobina o imán, la medida de las características ondulatorias de un sonido, o la medida directa de la aceleración de un cuerpo que desliza por un plano inclinado.

Foto: Utilizando el osciloscopio de la app Physics Toolbox en un móvil para visualizar la onda sonora de una nota pulsada en una guitarra y medir su periodo y frecuencia.

 

 7.- Observar y experimentar en casa

Hasta ahora hemos hablado de llevar ocasionalmente al laboratorio a toda la clase para hacer alguna práctica y de tener la buena costumbre de llevar los materiales al aula para experimentar ahí mismo, bien como demostración, o bien con la participación activa de todos. Pero aun queda el recurso a otro escenario muy valioso para que cada alumno practique los experimentos sugeridos por el profesor: su entorno familiar, desde la cocina o el baño de su casa hasta el patio, la calle o el parque donde salen a jugar o a relacionarse con sus amigos. La cocina es, por ejemplo, un estupendo laboratorio de química donde, siguiendo las instrucciones del profesor, los alumnos pueden practicar técnicas de mezcla, separación e identificación de sustancias (filtraciones, cromatografías, decantaciones) o incluso reacciones químicas de todo tipo. La calle o el patio puede ser también un buen escenario para experimentos de cinemática y mecánica en general, o de acústica. En la bibliografía hay muchas sugerencias concretas en este sentido. Los experimentos en casa tienen la gran ventaja de que no consumen tiempo lectivo y de favorecer la autonomía e iniciativa del alumno, quien además debe presentar sus resultados y aprender a exponerlos. Eso sí, es muy importante que el profesor se preocupe de explicar claramente el objetivo y procedimiento del experimento y de evaluar y corregir los resultados.

 

 

¿Cuánto pesa la Tierra?

Siguiendo recientemente algunos hilos de un foro de divulgación científica de internet donde los participantes preguntaban y opinaban sobre el peso de la Tierra y la gravedad a su alrededor, he podido comprobar que existe bastante confusión acerca de esta cuestión entre las personas que, con su mejor voluntad, se interesan por él, así que trataré de explicar muy brevemente algunos de estos puntos para quien desee aclarar un poco las ideas. Por cierto, el título y la imagen de esta entrada son un poco tramposos.

Peso y la masa. No es lo mismo

El peso de un cuerpo es la fuerza de gravedad que sufre éste en un determinado lugar, normalmente en la Tierra. Los cuerpos pesan y pueden ser pesados debido a que tienen masa. La masa de un cuerpo es una propiedad suya característica que tiene que ver con la cantidad de materia que tiene. Para que un cuerpo “pese” tiene que tener masa (todos la tienen) y además estar en un sitio del espacio donde haya gravedad, (por ejemplo sobre la Tierra). El peso equivale al producto de su masa m por la intensidad o aceleración de la gravedad del lugar g :    

p = m . g

Por ejemplo, una piedra de 1 kg (un kilogramo) de masa, en la superficie de la Tierra pesa 9,8 N (newtons) o lo que es lo mismo 1 kp (1 “kilo de peso”), pero sólo pesará 1,63 N ó 0,17 “kilos de peso” si se pesa en la Luna, aunque su masa siga siendo de 1 kg.

Pese a ser dos magnitudes completamente distintas (una fuerza de gravedad y una  propiedad característica de la materia), habitualmente confundimos masa y peso porque damos por hecho de que estamos pesando los objetos en la superficie de la Tierra, donde 1 kg de masa es atraído por ésta con una fuerza de gravedad de unos 9,8 N , fuerza a la que llamamos 1 kp o más coloquialmente “1 kilo de peso”, de ahí que digamos que “un kilogramo pesa un kilo”. Pero cuidado, porque esto sólo es así en la superficie terrestre,  donde g = 9,8 N/kg) 

 

¿Es necesario pesar un cuerpo para saber su masa?

No, no es necesario. Si por “pesar” un cuerpo entendemos averiguar cuánta masa tiene, sólo es preciso someterlo a cualquier experimento cuyo resultado dependa de su masa. Por ejemplo, colgarlo de un muelle y ver cuánto se estira o con qué periodo oscila, acelerarlo con una fuerza conocida o, por supuesto, equilibrarlo en una balanza con pesas de masa conocida.

 

¿Pesan los cuerpos cuando están en el espacio o en el vacío?

Esta es una cuestión de la que muchos tienen una idea equivocada. La respuesta es que sí que tienen peso. El peso de un cuerpo de cierta masa, es decir, la fuerza con que lo atrae la Tierra a causa de la gravedad (o el astro en donde se encuentre si es que lo estuviésemos pesando allá) depende del valor de la gravedad g del lugar, y g depende de la masa M del planeta y del cuadrado de la distancia r a su centro, si estamos en su exterior:

 P = m.g        ( g= G.M / r²)

Por lo tanto, el peso de un cuerpo no tiene nada que ver con que haya aire o vacío, o con que esté en la atmósfera o en el espacio exterior. Sólo depende de que esté más o menos cerca de la superficie terrestre.

Por ejemplo, una piedra de 1 kg de masa pesará 9,8 N (1 kilo de peso) en la superficie de la Tierra. Si la alejamos hasta la órbita de la estación espacial orbital ISS, a unos 400 km de altura donde reina prácticamente el vacío, esa piedra de 1 kg pesaría un poco menos, concretamente 8,96 N (0,914 kilos) y si seguimos alejándonos hasta la órbita geoestacionaria, a unos 35.800 km de altura, casi 6 veces el radio terrestre, el peso de esa piedra de un kilogramo ya sólo sería de 0,225 N (0,023 kilos), pero no sería nulo.

 

Si los cuerpos que están por el espacio cerca de la Tierra tienen peso, entonces por qué los vemos flotando ingrávidos?

Pues simplemente porque están trazando su órbita circular, lo que equivale a estar cayendo en el campo gravitatorio de la Tierra, y tendemos a tomar como marco de referencia para observarlos la cápsula o estación espacial en la que están, que también está “cayendo” con la misma aceleración y describiendo la misma órbita. Desde su propio punto de vista, a su peso real, que es una dirigida hacia el centro de la de la Tierra, se opone una fuerza de inercia centrífuga igual y opuesta que hace que aparentemente experimente una “gravedad cero”, aunque su peso realmente siga actuando, y de hecho es la única fuerza real que le está obligando a caer o a curvar su trayectoria para seguir la órbita.

 

¿Es posible pesar la Tierra?

La pregunta no tiene sentido si es que por “pesar” entendemos medir la fuerza de gravedad con que la atrae la Tierra (es absurdo el concepto de que un cuerpo se atraiga a sí mismo). Lo que sí que se puede hacer es medir experimentalmente la masa de la Tierra, y esto sabemos cómo hacerlo desde el siglo XVII gracias a Newton.

 

¿Cuál es la masa de la Tierra y cómo se ha podido hallar?

El valor aceptado actualmente para la masa de la Tierra y que se ha podido obtener experimentalmente por medidas indirectas es de 5,9722. 10²⁴ kg (cerca de seis billones de billones de kilogramos).

En 1687, año en que Isaac Newton publicó los Principia donde formulaba el principio fundamental de la dinámica y la ley de gravitación universal, el gran físico inglés fue el artífice de dar con la forma de medir la masa de la Tierra. Bastaba con observar  el movimiento de cualquier cuerpo sometido a la gravedad terrestre, como la Luna en su órbita, un péndulo oscilando o un objeto en caída libre. El procedimiento consiste en medir experimentalmente la aceleración a con que se mueve cualquiera de esos objetos de masa m y relacionarla con la fuerza F que la produce. Según el principio fundamental de la dinámica: 

F = m . a

Newton se dio cuenta que esa fuerza no era otra que la fuerza de la gravedad que la Tierra ejercía sobre estos cuerpos, dada por la expresión que él mismo había descubierto:

F = G.M.m / r²

Al igualar las dos expresiones  queda para la aceleración del cuerpo: 

a = G.M /r²

La aceleración a no es otra cosa que la aceleración de la gravedad terrestre g en el sitio donde se mueve el cuerpo. r es la distancia al centro de la Tierra ( el radio de la órbita en el caso de la Luna y el radio de la Tierra en los casos del péndulo o la caída libre). G es la constante gravitatoria, constante universal que según Newton determinaría el valor de la fuerza gravitatoria entre cualquier par de masas en cualquier lugar, y M es la masa de la Tierra. Como r y a se pueden conocer experimentalmente, ya sólo queda despejar y hallar M, la masa de la Tierra.

Pero había un problema. Newton no pudo hallar la masa de la Tierra por la sencilla razón de que nunca tuvo la oportunidad de determinar el valor de la constante gravitatoria G que él mismo había propuesto y que tendría que ser medida experimentalmente.

Poco más de un siglo más tarde, en 1798, el físico inglés Lord Cavendish, realizó un sencillo pero preciso experimento que medía directamente la fuerza de atracción gravitatoria entre unas esferas muy pesadas, lo que le permitió ser el primero en hallar el valor de la constante gravitatoria G, obteniendo un valor prácticamente igual al que se conoce actualmente: G = 6,6743. 10^-11  Nm²kg^-2 . Una vez hallado G, pudo calcular inmediatamente el valor de la masa de la Tierra. De alguna manera podemos decir que Cavendish fue “el primer ser humano en pesar la Tierra”. Con las instrucciones de Newton.