¡Compro Oro!

Jugando con la masa y el peso para ganar dinero

A todos nos enseñaron en la escuela (o al menos lo intentaron) que la masa no es lo mismo que el peso, aunque coloquialmente nos refiramos a ellas indistintamente en kilos o gramos. La masa de un cuerpo es una característica propia de éste, mientras que el peso depende, además de la masa, de la gravedad del lugar donde se esté pesando.

Pues ahora te propongo un negocio:

Como sabrás, una misma masa va pesando más con la latitud a medida que avanzamos por un meridiano desde el ecuador hacia el polo. Esto se debe a que la gravedad, que afecta al peso, aumenta realmente debido al achatamiento polar de la Tierra y, aparentemente, a la fuerza centrífuga debida a la rotación terrestre.

El negocio es el siguiente: Yo compro oro al precio de mercado pesándolo físicamente en algún país del ecuador, y tú vendes exactamente esa misma cantidad de oro al mismo precio, también pesándolo,  pero ahora en un lugar de algún país próximo al polo Norte. No hace falta que nos reunamos ni que te lo mande, podemos tener allí oro de reserva. Como la misma cantidad de oro pesa más en el polo que en el ecuador, tendremos por cada kilo unos gramos de oro de margen a nuestro favor, por los que nos van a pagar sin que nos hayan costado nada. Las operaciones de compraventa, pesado e ingresos en cuenta, se pueden hacer simultáneamente. He hecho cálculos y cada kilogramo exacto de oro da una diferencia de peso correspondiente a 5,3 g. Suponiendo la cotización actual del oro de unos 50 €/g, resulta una ganancia de 265 € por cada kilo de oro comprado y vendido ¡Y casi sin movernos! ¿Qué te parece?

El 0,53% de diferencia en la gravedad polar y ecuatorial, debida al diferente radio y al efecto de la fuerza centrífuga de rotación, que es nula en el polo y máxima en el ecuador, haría que una balanza mostrase una sensible discrepancia al pesar una  misma masa en uno y otro lugar. Concretamente, 5,3 gramos por cada kilogramo.

Antes de avanzar más, siento desilusionarte. El planteamiento y los cálculos son correctos, pero el hecho de llevar a cabo esa operación lleva implícito un fraude que tal vez no hayas advertido y del que hablaremos más tarde. Podemos montar el negocio, sí, pero estaríamos cometiendo un delito. 

 

Un  buen problema para Física de Bachillerato

La propuesta del negocio anterior constituye la base  de un problema que proponía  todos los años a mis alumnos de Física, que resulta ideal para trabajar y relacionar de forma motivadora  muchos de los contenidos de Física de 2º de Bachillerato propios  del primer trimestre: masa, peso, fuerzas gravitatorias y gravedad terrestre, fuerzas de inercia, suma de fuerzas, cinemática y dinámica del movimiento circular y operaciones con cifras significativas.

El enunciado del problema, que puedes encontrar, resuelto y comentado en este enlace es el siguiente:

Problema: ¿Cuánto pesa un lingote de oro de un kilo?

Teniendo en cuenta los distintos valores absolutos de la gravedad terrestre en el ecuador y en los polos debidos a la diferencia en el radio terrestre, y  el efecto de la fuerza centrífuga de la rotación de la Tierra, compara el peso aparente de un lingote de 1 000,0 gramos de oro según se sitúe en uno u otro lugar. (Datos respectivos de R y g polar y ecuatorial:  6357 y 6378 km ;  9,832 y 9,814 m/s². ¿Hay negocio a la vista?

Pero antes de tratar de resolverlo o de analizar más a fondo qué es lo que hay detrás del negocio del oro que se proponía al principio es preciso comprender bien los conceptos que encierra la operación de “pesar un objeto”: La masa, el peso, el peso aparente, sus unidades y el fundamento de las balanzas.

 

Masa, peso, peso aparente

Estos conceptos suelen confundirse a menudo cuando nos referimos a lo que pesa un cuerpo, aun sabiendo que masa y peso son magnitudes diferentes. La razón de esta confusión supongo que tiene que ver con la forma en que estas magnitudes son medidas en la práctica. Cuando se quiere averiguar la masa de un cuerpo lo más normal es “pesarlo”, o sea, colocarlo sobre una balanza o un dispositivo similar y observar lo que marca. pero ¿qué es lo que marca en realidad una balanza? ¿Seguro que es su masa? ¿Tal vez sea su peso? ¿Están actuando otras fuerzas que interfieren con su peso real?

• Masa

Clásicamente, la masa de un cuerpo es una magnitud propia de éste que mide su inercia o resistencia a ser acelerado y,  a su vez, lo que hace que sea atraído con más o menos fuerza al estar en un campo gravitatorio. La masa de un cuerpo es mayor cuanta más materia tenga. Aunque sea incorrecto definir la masa como cantidad de materia, decir su masa es la manera más intuitiva de indicar de cuánta materia está hecho un cuerpo.

La masa es una magnitud fundamental en el S.I. y su unidad internacional es el kilogramo (símbolo kg). Otras unidades frecuentes, además de los submúltiplos del kg (mg, g) son por ejemplo la libra (lb) y la onza (oz) del sistema imperial británico, la tonelada (ton), o el megaelectronvoltio de masa (MeVc^-2), muy empleado con las partículas subatómicas .

• Peso

El peso de un cuerpo no es otra cosa que la fuerza con la que éste es atraído por la gravedad. Normalmente en la superficie de la Tierra, pero también en otras condiciones gravitatorias, como a otra altitud o en la superficie de otro astro. En sentido estricto, el peso se refiere solamente a la fuerza del campo gravitatorio de la Tierra y excluye el efecto de la rotación terrestre o cualquier otra fuerza de inercia adicional, aunque a veces se incluyan en la práctica.

Como fuerza que es, el peso (p) de un cuerpo está relacionado con la masa (m) de éste según la ecuación:  F = m . a , en este caso  p = m . g , donde g es la aceleración a de la gravedad o la intensidad del campo gravitatorio del lugar en donde se encuentre “pesando” ese cuerpo. En la superficie terrestre, donde pesamos habitualmente las cosas, g varía ligeramente con el lugar y vale aproximadamente  9,8 m/s² (9,8 N/kg)

La magnitud del peso es fuerza, y su unidad en el S.I. es el newton (símbolo N) y todas las demás unidades de fuerza valen también para referir pesos: el kilogramo-fuerza ó kilopondio (kgf, kp), la dina (din), la libra-fuerza (lbf) o la tonelada-fuerza (tnf).

Así pues, la masa y el peso de un cuerpo no son lo mismo. Son magnitudes totalmente distintas. Mientras que la masa es una característica propia relacionada con la cantidad materia que forma el cuerpo, el peso es la fuerza gravitatoria que sufre éste por el hecho de tener cierta masa y encontrarse en un lugar donde haya mayor o menor gravedad, ya sea en la Tierra o en cualquiera que sea el lugar del cosmos en el que lo pesemos. A diferencia de la masa que es única y escalar, el peso es vectorial, tiene dirección y sentido, y su valor depende de la gravedad del lugar.

Sólo en el caso de que estemos en un lugar en donde la gravedad valga exactamente g = 9,80665 m/s², valor estándar que se toma por convenio para la superficie terrestre, el valor de la masa expresado en kg coincide numéricamente con el valor del peso expresado en kgf ó kp. Podremos decir entonces que 1 kilogramo “pesa un kilo”,  o que el peso de un cuerpo en “kilos” (kp) son los kg que tiene su masa. Por eso, el “kilo” (ya sea kg de la masa ó kp del peso) se emplea en lenguaje coloquial para referirnos indistintamente a la masa o al peso, porque estamos dando por supuesto que las cosas las pesamos normalmente y de forma aproximada en la superficie de la Tierra; pero tendremos que ir con más cuidado cuando no se cumpla alguna de estas premisas.

Y lo mismo podemos decir si en vez de kilogramos hablamos de gramos, de libras o de toneladas.

• Peso aparente

El peso del que hablamos en el epígrafe anterior es el peso real de un cuerpo, producto de su masa por la gravedad del lugar, pero en ocasiones,  cuando vamos a medirlo con una balanza, ésta parece indicar en algunos casos que pesa más y en otros menos que su peso real. Hablamos de que muestra un peso aparente. Esto es debido a que pueden existir otras fuerzas, ya sean reales o de inercia que a veces pasan inadvertidas y que se suman vectorialmente al peso interfiriendo en su medida.

Es el caso del peso a la baja que marca una balanza para un cuerpo cuando lo pesamos sumergido en agua (peso aparente) comparado con lo que pesa al aire (peso real). En este caso el peso aparente es el peso menos la fuerza de empuje del fluido. O el caso del aumento de peso que registra una báscula bajo nuestros pies dentro de un ascensor en el momento de arrancar a subir (peso aparente) con respecto al reposo (peso real). En este segundo caso, el peso aparente durante la arrancada es el peso real más la fuerza de inercia (nuestra masa por la aceleración del arranque).

En estos casos, los conceptos de  masa, peso, peso aparente o incluso masa aparente podrían confundirnos si no comprendemos bien la diferencia que hay entre ellos y qué es lo que está mostrando realmente la lectura de la balanza que empleamos para pesar. Tal vez sea ahora el momento de aclarar todo esto con un ejemplo.

 

Ejemplo ¿Cuánto pesa un balón de playa?

Supongamos que tengo en casa un balón de playa  de unos 30 cm de diámetro hinchado de aire y lo peso sobre una balanza. Se sabe que su masa es exactamente de 150 g (0,150 kg), 134 del propio balón más 16 g del aire encerrado. Su peso es también de unos 0,150 kilos, pero la balanza marca sólo 0,136 kg. En otra ocasión, ese mismo balón es pesado en la Estación Espacial Orbital (ISS) que orbita a 400 km de altura. El balón allí sigue teniendo la misma masa, 0,150 kg, pero su peso ha bajado a 0,137 kilos, mientras que la balanza sobre la que se coloca marca 0,000 kg. Aparentemente ¡no pesa nada! 

¿Cómo se entiende todo este lío? ¿Qué respondo si me preguntan cuánto pesa el balón?

Analicemos estos datos que se suponen ciertos:

a)      Balón en casa.

• Masa: Sabemos que su masa es 150 gramos.   m = 0,150 kg.  Esto es una característica del balón que no cambiará en ninguna circunstancia ni lugar (siempre que no cambie el balón ni el aire contenido)

• Peso: Como está en la superficie de la Tierra, la gravedad (g) en casa va a ser aproximadamente 9,81 m/s²,  por lo que el peso ( p = m . g ) será: 
  

 p = 0,150 kg . 9,81 m/s² = 1,47 N 

 que son, como era de esperar  0,150 “kilos”  ( 1,47N. 1 kp/9,81 N = 0,150 kp )

• Peso aparente: La baja densidad del balón hinchado hace que el empuje del aire exterior hacia arriba (0,14 N en este caso) sea apreciable con respecto al peso del balón hacia abajo. El peso aparente será:

 p_a = p – E = 1,47 N – 0,14 N = 1,33 N = 1,33 N / 9,81 kp/N = 0,136 kp

La balanza así “es engañada” y en vez de marcar 0,150 kg, que es la masa que originaría su peso (real) en ese lugar , marca la masa (aparente) que originaría ese peso aparente, por lo que mostrará sólo 0,136 kg

b)      Balón en la ISS en órbita.

• Masa:  m= 0,150 kg, no cambia, el balón es el mismo

• Peso: La órbita de la ISS está a 400 km de altura, donde la gravedad ( g = 8,96 m/s²)  es sensiblemente menor que en la superficie terrestre (g = 9,81 m/s²). 

El peso (m.g) será menor: 

p = 0,150 kg . 8,96 m/s² = 1,34 N = 1,34 N / 9,81 kp/N = 0,137 kp  ( 0,137 “kilos” )

• Peso aparente: Desde el punto de vista de la balanza, en orbita con la ISS alrededor de la Tierra con el balón reposando encima, y moviéndose con la aceleración centrípeta propia de una órbita circular; al peso del balón dirigido hacia el centro de la Tierra (1,34 N) se opone una fuerza de inercia centrífuga exactamente igual y opuesta al peso, por lo que el peso aparente, que detecta la balanza es nulo:  

P_a = 1,34 N - 1,34 N = 0 N = 0 kp . La balanza muestra  "0,000 kg"

Conviene aclarar que tanto los newton como los kilopondios o kilogramos-fuerza (kilos de peso, hablando coloquialmente), son dos unidades distintas  de una misma magnitud (fuerza), por lo que su factor de conversión (por convenio 9,80665 N/kp) es un valor invariable, independientemente del valor de la gravedad del lugar. Redondeando, 1 kp son 9,81 N aquí, en la Luna y en un agujero negro.

 

Pero entonces ¿qué es lo que mide realmente una balanza?

Una vez aclarada la diferencia entre masa, peso y peso aparente, volvamos a la cuestión inicial de qué es lo que mide en realidad una balanza cuando pesamos un cuerpo con ella. Lo primero a tener en cuenta es  que lo que marca depende de cómo esté diseñada.

Las balanzas de platillos o las de brazo comparan el peso aparente del cuerpo que se pesa con el de las pesas que lo equilibran. Si el empuje del aire no es sensiblemente distinto ( no existen diferencias muy notables entre el volumen del cuerpo y el de las pesas) y, dado que la gravedad aparente (gravedad absoluta más posibles fuerzas de inercia) es la misma pues cuerpo y pesas están en el mismo lugar y condiciones, entonces estamos comparando directamente la masa del cuerpo con la de las pesas. La balanza da la masa real del cuerpo, en las unidades que se muestran en las pesas o en la escala del brazo.

A diferencia de las anteriores, las balanzas de muelle vertical, basadas en la deformación elástica de un resorte, o las de un solo plato, ya sean de resorte o piezoeléctricas; miden directamente la fuerza perpendicular que se aplica sobre ellas, sea ésta un peso real o no. Pero como presentan la escala de lectura en unidades de masa, si queremos saber la masa que tiene realmente el cuerpo que pesamos, debemos interpretar el resultado.  Sin ánimo de liarla más, diremos que, en rigor, los gramos o kilogramos que marca la balanza  (si previamente ha sido bien calibrada en el lugar de uso con pesas patrón) son la masa que tendría un objeto cuyo peso en ese lugar fuese igual a la fuerza perpendicular que se esté haciendo contra el platillo. Si esa fuerza es debida solamente al peso del cuerpo que se está pesando, en reposo, y sin otras fuerzas reales o de inercia que le afecten de forma apreciable, sólo entonces su masa es justo lo que marca. En caso contrario habrá que entender que se trata de una masa aparente, relacionada con el peso aparente del cuerpo, y habrá que identificar qué otras fuerzas interfieren con el peso para averiguar su masa real. 

Arriba: balanzas que miden directamente la masa. 

 

Abajo: balanzas que se basan en  medir la fuerza aplicada.

Y para terminar, volvamos al negocio del oro

La idea central es que al pesar sucesivamente un lingote de oro de 1kg de masa en el ecuador y en el polo, el 5,3% de diferencia en las aceleraciones de la gravedad (g) se traduce en una diferencia de peso similar, que en este caso resulta ser de 0,0053 kp.

Lo primero que habría que tener en cuenta es que, para hacer negocio, la balanza que usemos no puede ser de las de pesas, pues éstas comparan directamente la masa del oro que pesamos con la masa de las pesas utilizadas, y como la diferencia de gravedad les afecta por igual, el lingote se equilibraría con las mismas pesas en ambos lugares.

Tendríamos que usar una balanza que responda a fuerzas o pesos, como las de un plato, o las de muelle. En éstas sí se notaría diferente peso para una misma masa.

Para una operación comercial de este tipo, la balanza utilizada tiene que cumplir dos requisitos ineludibles. El primero, que sea suficientemente sensible, pues 0,01 g de oro ya valen 0,50 €. El segundo, que sea suficientemente exacta, y para ello debe estar bien calibrada, es decir, que lo que marque sea lo correcto. Y aquí viene el problema. Las balanzas vienen graduadas en unidades de masa (g, kg, u otras), y ¿cómo se asegura su correcta calibración? … ¡Exacto, con pesas! Y ya estamos en lo de antes, una pesa de 1kg deberá marcar 1 kg exacto. El ajuste de la balanza en el polo y el ecuador tendría que ser distinto para que marcase lo mismo al pesar una misma masa.

Claro que siempre se puede calibrar la balanza en el ecuador y después enviarla al polo sin tocar nada, pero  como el precio del oro se basa en su masa y no en lo que pese ésta, siempre estaríamos incurriendo en una estafa. Si al principio alguien se ha interesado por este negocio, que sepa que no es oro todo lo que reluce.