El problema (no siempre bien comprendido) del desplazamiento rodado

 

¿Qué fuerzas intervienen en un móvil que avanza rodando?

Cuando estudiamos Mecánica en secundaria o niveles superiores, en ocasiones nos encontramos con problemas de coches que ruedan por una carretera, ruedas que giran avanzando sobre un raíl o cuerdas que hacen girar algún disco que rueda sobre un plano.

En todos ellos aparece el problema de la rodadura sobre una superficie, no siempre horizontal ni de pendiente constante, y siempre acaban apareciendo ruedas o similares girando, rozamientos de alguna clase y algo o alguien “tirando” o ejerciendo alguna tracción.

El problema de un cuerpo que se desplaza rodando sobre una superficie o un cable sin deslizar ni derrapar no siempre se plantea de forma correcta y existe habitualmente cierta confusión a la hora de identificar las fuerzas y los agentes que las causan. Por ejemplo, a la hora de identificar las fuerzas que actúan en un vehículo sobre ruedas que avanza sobre una pista, cuántas veces habremos visto o dicho eso de que las fuerzas que actúan horizontalmente son: Hacia delante “la fuerza del motor” y hacia atrás “el rozamiento del suelo” y “la fuerza que hacen los frenos”. Puede que salga el resultado del problema en algunos casos, pero lo dicho antes ¡es falso!  

¿Y si te dijesen que en realidad el motor no está tirando del coche hacia delante sino que se limita a hacer girar las ruedas sin avanzar, que la fuerza resultante que hacen los frenos sobre el coche es nula, y que la fuerza que realmente tira del coche hacia delante es el rozamiento con el suelo?  

Sorprendente, pero cierto. Pero entonces ¿qué es lo que hace que un vehículo rodante avance sobre una superficie? o lo que es lo mismo, ¿qué fuerzas actúan y quien es la causante de cada una de ellas?

Antes de plantear la resolución de un problema de dinámica, en el que hay que relacionar el movimiento de un cuerpo con las fuerzas que lo producen, yo siempre aconsejaba a mis alumnos tres cosas. La primera, decidir cuál va a ser el sistema u objeto concreto cuyo movimiento queremos estudiar, y centrarnos sólo en él. La segunda, imaginar el objeto moviéndose en su entorno e ir retirando cosas de la escena, de una en una, con la imaginación. Si al quitar alguna se modifica el movimiento, seguro que esa cosa es la causante de alguna de las fuerzas que hay que identificar. Y finalmente la tercera, una vez que sabemos cuáles son todas las fuerzas que van a actuar en el objeto estudiado, hacer un esquema el mismo y dibujarlas todas, debidamente identificadas, como vectores con sus direcciones, sentidos y puntos de aplicación. Para resolver ahora cualquier problema dinámico en ese sistema, habrá que aplicar a esas fuerzas los principios fundamentales de la dinámica:   

S F = m.a  para la traslación y  S M = I.a  para la rotación.

Así pues, vamos a centrarnos en la rueda del vehículo y veamos qué hace falta para que ruede sobre el plano de la pista.

1.- Tracción y frenado

Para que la rueda se mueva tiene que haber algo o alguien que tire de ella (un motor, una persona, una pesa, o la Tierra con su gravedad si está en cuesta) ya sea directamente o a través de algún elemento de transmisión (una correa, una cadena o un embrague). Además, la dirección en la que se tira no puede pasar por el punto de contacto de la rueda con el suelo porque entonces no podría girar. En otras palabras, para que la rueda gire tiene que haber una fuerza de tracción que produzca un momento de giro.

Independientemente de que existan fuerzas de tracción que favorezcan el avance, también pueden actuar otras produciendo un momento opuesto que tienda a hacer girar la rueda al revés. Hablamos entonces de fuerza de frenado, como por ejemplo la que aplican los discos de freno en las ruedas de los vehículos o la resistencia de los engranajes de la transmisión.

En la mayor parte de los casos, las fuerzas de tracción o de freno actúan en las ruedas como pares de fuerzas, cuya resultante es nula pero no su momento, que es lo que origina el giro. 

2.- Peso y normal

Si no existiera la gravedad causada por la Tierra, la rueda no presionaría la pista y levitaría rodando sobre su eje a causa de su tracción sin moverse del sitio. Aquí tenemos la segunda fuerza: el peso de la rueda, que es la fuerza de gravedad con que la Tierra  atrae verticalmente hacia abajo a la rueda y toda la carga que soporta. Su punto de aplicación está en el centro de gravedad. Cuando rueda por un plano inclinado, una parte del peso actúa también como fuerza de tracción.

Imaginemos ahora que eliminamos la pista, privando a la rueda de su contacto. En primer lugar, el peso haría que la rueda cayese hacia abajo. Efectivamente, el suelo es quien lo evita, aplicando una fuerza de reacción igual y opuesta a la fuerza que ejerce la rueda contra el suelo al presionarlo, entre otras causas, por su peso. El punto de aplicación de esta fuerza está en la pequeña zona de contacto entre la rueda y la pista.

La componente perpendicular de la fuerza que ejerce el suelo sobre la rueda se denomina fuerza normal y es la que asegura el contacto evitando que la rueda se hunda en la pista. Sólo cuando rueda en horizontal y la tracción es un par o tiene una resultante paralela al plano, la normal es igual y opuesta al peso.

3.- Adherencia con el suelo

Pero el suelo hace algo más que la fuerza normal con la rueda. La naturaleza de ambos debe de asegurar que en la superficie de contacto se produzca la adherencia suficiente para que la rueda no derrape ni se deslice patinando cuando la tracción tiende a moverla. Esta fuerza de adherencia es la componente paralela al plano que nos faltaba de la fuerza que ejerce el suelo sobre la rueda y no es otra cosa que una fuerza de rozamiento deslizante que se opone al desplazamiento relativo de la rueda sobre el suelo. Si se mantiene la rodadura sin deslizar, entonces los puntos de la rueda y del suelo que están en contacto tienen que tener la misma velocidad, es decir, cero, y esta fuerza paralela al plano de la pista es entonces una fuerza de rozamiento de deslizamiento estático que se opone al sentido del movimiento tangencial que tendería a hacer el borde de la rueda sobre la pista. Cuando la tracción obliga a la rueda a rotar en el sentido de avance, ésta empuja al suelo hacia atrás y el suelo reacciona aplicando a la rueda una fuerza igual y opuesta hacia adelante que es precisamente el rozamiento estático del que estamos hablando (algo así como lo que hace un gondolero cuando aplica contra el fondo la punta de la pértiga para hacer avanzar su barca). En consecuencia ¡es el rozamiento con el suelo la fuerza que obliga a avanzar a la rueda y todo lo que va unido a ella!

Como cualquier rozamiento estático, el valor de esa fuerza no depende ni del área de contacto ni de la velocidad con que se traslade la rueda. Puede variar desde cero (cuando no actúa una tracción neta) hasta un valor máximo que es proporcional a la fuerza normal entre ambas superficies. A partir de ahí, si el momento de tracción aumentase más, el rozamiento estático ya no podría oponerse más al deslizamiento inminente hacia atrás del borde de la rueda y ésta derraparía sobre la pista (lo que sucede por ejemplo cuando un vehículo trata de acelerar bruscamente). Por el contrario, si al rodar sobre la pista pasara algo que demandase el cambio de sentido de este rozamiento, como una frenada o una disminución de su valor máximo permitido (por disminución de la normal o del coeficiente de rozamiento), entonces el rozamiento estático máximo, que ahora actuaría hacia atrás, podría no llegar a ser suficiente para oponerse al deslizamiento inminente hacia delante de la rueda, y ésta se deslizaría patinando sobre la pista (lo que sucede cuando un vehículo trata de frenar bruscamente, o entra en un firme poco adherente, o pierde repentinamente una parte de su carga).

4.- Rozamientos externos

Todos sabemos que para mantener rodando un vehículo no basta con compensar tracción yl frenado, sino que hay que mantener una tracción neta en el sentido de avance, que además es tanto mayor cuanto mayores sean la velocidad y superficie de contacto de las ruedas y menos aerodinámico sea el vehículo.

Aparecen así más agentes causantes de fuerzas sobre la rueda. En este caso serán fuerzas de rozamiento externas que siempre van a actuar en el sentido de oponerse al movimiento de avance.

De nuevo aparece el suelo. Además de producir la adherencia necesaria para avanzar (fuerza de rozamiento de deslizamiento estático), ofrece a la rueda una fuerza de rozamiento de rodadura. Esto se debe al hecho de que la rueda no es ideal y no tiene un único punto de contacto con el suelo, sino que mantiene un área de contacto con irregularidades que producen una fricción que depende de la extensión del contacto y de la naturaleza física de ambos, además de su movimiento. Este rozamiento, que no hay que confundir con el rozamiento estático responsable del avance, suele ser mucho menor, se aplica en la parte de la rueda que toca la pista y siempre se opone al sentido de avance. En una rueda rígida e ideal sería nulo.

Y finalmente tenemos el fluido en cuyo seno se está desplazando el vehículo rodado, que suele ser el aire en la mayoría de los casos, y que produce una fuerza de fricción o resistencia frontal que se opone siempre al avance y que denominaremos fuerza de rozamiento aerodinámico. Esta fuerza es especialmente intensa si la sección frontal del vehículo es grande y su forma es poco aerodinámica, pero sobre todo aumenta cuadráticamente con la velocidad de traslación. Si nos centramos en la rueda, esta fuerza que actúa por toda la superficie del vehículo se puede considerar aplicada en el centro del eje, y es la principal causa del rozamiento cuando la velocidad es alta.

 

Y a modo de ejemplo …

Los aficionados a rodar en bicicleta tienen sobrada experiencia de cómo influyen todos los factores y fuerzas de los que hemos hablado. En primer lugar, el control de la tracción, combinando la fuerza transmitida desde el pedal al piñón y el radio de éste (momento del par de fuerzas de tracción) o aplicando los frenos. En segundo lugar, la adherencia que permite avanzar, favorecida por un suelo no deslizante y cubiertas en buen estado (alto coeficiente de rozamiento estático) y una postura que no descargue demasiado el peso del cuerpo sobre la rueda trasera (alta fuerza normal). Para minimizar el rozamiento de rodadura es conveniente el uso de ruedas finas y bien hinchadas (poca área de contacto), pero sobre todo, para reducir el rozamiento aerodinámico que puede ser muy grande si  se pedalea a alta velocidad o con viento en contra,  es conveniente llevar una indumentaria ajustada al cuerpo y adoptar una postura aerodinámica “cortando el aire”( efectos de forma, sección frontal y velocidad en el rozamiento aerodinámico). El diagrama que se muestra en el siguiente apartado refleja perfectamente el conjunto de las fuerzas que actúan en la rueda trasera de la bicicleta cuando rueda sobre un llano.

 

Dinámica del movimiento de una rueda sometida a tracción y rozamiento sobre un plano

Vamos a ver a continuación cómo plantear y resolver con el debido rigor un problema genérico de movimiento de rodadura. Plantearemos el caso muy habitual de una rueda que avanza rodando sin deslizar sobre un plano horizontal, sometida a un par de fuerzas de tracción, fuerzas internas de frenado y resistencia al avance debido a fuerzas externas de rozamiento.

La figura muestra un esquema de la rueda con las magnitudes y parámetros que se describen a continuación.

 

1.- Parámetros de la rueda:

m : Masa de la rueda, incluida la parte del vehículo y carga transportada que reposa sobre ella

I : Momento de inercia de la rueda, incluido el eje que gira con ella. En el caso probable de que pudiera asimilarse a uno o varios discos homogéneos coaxiales, se podría hallar como la suma de los momentos de inercia de cada disco: I = S ½ m_i r_i²

R : Radio total de la rueda, distancia desde el centro del eje hasta el borde en contacto con el plano

r_T : Radio de tracción, distancia desde el centro del eje al punto donde se tira de la rueda

r_F : Radio de frenado, distancia desde el centro del eje al punto donde por término medio se aplica el contacto con el sistema de frenado y los rozamientos internos.

 

2.- Fuerzas y momentos sobre la rueda:

T : Fuerza de tracción, transmitida a la rueda a través de la correa, embrague o engranaje que la mueva.

F : Fuerza de resistencia al movimiento ejercida por freno, el eje y otros rozamientos internos opuestos al sistema de tracción.

P : Peso de la rueda.

P = m.g

N : Fuerza normal sobre la rueda, reacción del plano a la fuerza que la rueda hace verticalmente al reposar sobre éste.

F_r : Fuerza de rozamiento opuesta al avance de la rueda. Resultante de las contribuciones aerodinámica (F_ra)y de rodadura (F_rr) .   

F_r = F_rr + F_ra

F_re : Fuerza de rozamiento por deslizamiento estático. La fuerza de reacción que el suelo hace paralelamente contra la rueda cuando ésta lo empuja hacia atrás cuando trata de girar por la tracción. Es la única fuerza que tira de la rueda hacia adelante y la responsable de que el sistema pueda acelerar y avanzar en esa dirección. Si rueda sin deslizar (velocidad de C nula), se debe a la existencia de un rozamiento estático de coeficiente m_e entre las superficies de la rueda y el suelo, que producirá una fuerza de rozamiento comprendida entre 0 (cuando no se aplica tracción alguna) y m_e.N (valor máximo cuando una tracción elevada esté a punto de romper la adherencia y derrapar). 

0 < F_re < m_e.N

M_T : Momento del par de tracción que hace el sistema de transmisión (correa, cadena, embrague, etc.) sobre la rueda.

M_T = F. r_T

M_F: Momento del par de frenado que hacen los frenos y los rozamientos del sistema de tracción sobre la rueda.

M_F = F. r_F

3.- Magnitudes cinemáticas:

w: Velocidad angular de la rueda. 

v: Velocidad de traslación. Es la velocidad lineal con la que se traslada el eje de la rueda con respecto al suelo y la que tienen los puntos C del borde con respecto al centro O del eje. Coincide con la velocidad con la que se desplaza el conjunto.

v = w .R

a: Aceleración angular de la rueda.

a: Aceleración de traslación. Es la aceleración lineal con la que el eje de la rueda se mueve con respecto al suelo y la aceleración tangencial que tienen los puntos C del borde con respecto al centro O. Coincide con la aceleración que se desplaza el conjunto.

a = a .R

 

4.- Aplicación de las ecuaciones fundamentales de la dinámica:

 

Traslación:

S F = m.a

S F_x = m.a     F_re – (F_rr + F_ra) = m.a           F_re  – F_r  = m.a

S F_y = 0          N – P = 0                              N = m.g

Rotación:  

S M = I.a

M_T - M_F = I.a

Condición de adherencia al suelo (rodar sin derrapar ni patinar):

v = w .R

a = a .R

 Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene la expresión para la aceleración a de la rueda, o lo que es lo mismo, la aceleración con la que se traslada su eje con respecto al suelo:

a =  (F_re – F_r) / m  = (M_T – M_F). R / I

y la fuerza neta o resultante que hace avanzar a la rueda, debida al rozamiento F_re que opone el suelo al tratar de girar la rueda sobre éste debido a la tracción, menos los rozamientos F_r que se aponen a su avance, será:

F_re – F_r =  m.a  =  (M_T – M_F). m. R / I

 Analizando estas expresiones finales podemos sacar algunas conclusiones y tratar de justificar las observaciones de nuestra experiencia.

 

5.- Conclusiones:

a > 0 si M_T > M_F : La rueda acelerará, avanzando cada vez a mayor velocidad, cuando el momento de la fuerza de tracción (M_T = T . r_T) sea mayor que el momento de los frenos o rozamientos internos que tratan de frenarla (M_F = F . r_F). El par de tracción es mayor que el par de frenado. Pero esto siempre que el rozamiento estático provocado en el suelo no llegue al límite máximo  F_re = m_e .N . Alcanzado este máximo, un aumento del par de tracción provocaría el derrape de la rueda. Es lo que sucede, por ejemplo, cuando en un vehículo con ruedas desgastadas o que se desplaza sobre un terreno de poca adherencia (bajo m_e) se aplica una tracción demasiado fuerte aplicando a fondo el acelerador (alto M_F).

a < 0 si M_T < M_F : La rueda frenará, avanzando cada vez a menor velocidad, cuando el par de tracción sea menor que el par de frenado. Pero a diferencia del caso anterior, ahora el rozamiento con el suelo se provoca en sentido opuesto (F_re< 0), actuando hacia atrás como los demás rozamientos externos. Como antes, si el par de frenado fuera demasiado grande, F_re no podría seguir creciendo en consonancia (no puede superar el valor límite  m_e .N ) y entonces la rueda patinaría o se deslizaría. Es lo que sucede en un vehículo cuando se aplican los frenos con demasiada fuerza (alto M_F) al desplazarse sobre sobre un suelo que ofrece poca adherencia (bajo m_e).

a = 0 si M_T = M_F : La rueda permanece en movimiento uniforme avanzando con velocidad constante. En este caso la tracción tiene que ser la mínima necesaria para que su momento se compense al del rozamiento interno que tiende a frenarla. Asimismo, se ha de cumplir que F_re = F_r , es decir, la tracción sólo debe provocar en el suelo la reacción necesaria para igualar los rozamientos externos del aire y la rodadura. Esto se puede observar cuando se desea llevar un vehículo a velocidad constante, en este caso es necesario mantener una pequeña fuerza de tracción que venza al rozamiento, o no tan pequeña, si el rozamiento aerodinámico es grande al ser alta la velocidad.

 

6.- Consideraciones de trabajo y energía:

Apliquemos el teorema de la energía cinética. Según éste, el trabajo total sobre la rueda ha de ser igual al incremento de su energía cinética.

W = D Ec

El trabajo total es la suma de los trabajos que hacen todas las fuerzas presentes, ya sean conservativas (peso) o no (tracción, normal, rozamientos,…). F_re no hace trabajo ya que su punto de aplicación siempre tiene velocidad nula y no se desplaza. El peso P y la normal N tampoco hacen trabajo ya que son perpendiculares al desplazamiento. La fuerza de tracción T, aunque tiene su origen en fuerzas internas (su resultante es nula por incluir tanto acciones como reacciones) hace siempre un trabajo positivo ya que actúa en el mismo sentido que el desplazamiento de los puntos de la rueda donde se aplique, favoreciendo un incremento de la energía cinética. Las fuerzas internas de frenado F y los rozamientos externos F_r = F_rr + F_ra , que se oponen al desplazamiento hacen un trabajo negativo y contribuyen a una disminución de la energía cinética.

W = W_T + (W_F + W_r)   , donde   W_T > 0   y  (W_F + W_r)  < 0

La energía cinética total en este caso incluye la de rotación alrededor del eje más la traslación de la masa total asociada al centro de masas, situado en el eje

D Ec = D Ec (tras) + D Ec (rot) =  ½ . m . D(v²) + ½ . I . D(w)²

En conclusión: La variación en la energía cinética de la rueda debida tanto a su rotación sobre su eje como a la traslación en su avance sobre el plano equivale al balance del trabajo positivo realizado por las fuerzas de tracción y el trabajo negativo de las fuerzas de frenado y demás rozamientos.

W_T + (W_F + W_r) = D Ec (tras) + D Ec (rot)

Queda así justificado el hecho evidente de que si la tracción trabaja más que el conjunto del frenado y rozamiento, la rueda gira más deprisa y avanza más rápidamente; mientras que si las fuerzas que se oponen trabajan más que la tracción, la rueda irá deteniendo gradualmente su movimiento. 

 

Llegaríamos a las mismas expresiones y la misma conclusión si en vez de utilizar el teorema de la energía cinética, hubiésemos partido de relación general entre el trabajo no consrvativo y la variación de la energía mecánica:

W(no cons) = D E

Donde el trabajo de las fuerzas no conservativas es  W_T + (W_F + W_r) y la variación de la energía mecánica es exclusivamente cinética: = D Ec (tras) + D Ec (rot)

 

Extensión a otros casos de rodamiento sobre planos

En los libros de problemas de preuniversitario o primeros cursos universitarios es frecuente encontrar ejercicios de rodadura de diversos objetos sobre diferentes superficies. Generalmente estos objetos rodantes suelen ser sólidos rígidos homogéneos con simetría de revolución (esferas, cilindros, discos o combinaciones de estos) cuyo eje de rotación es paralelo a la superficie de rodadura, que siempre suele ser un plano ya sea horizontal o inclinado.

Aquí hemos analizado el caso de una rueda cilíndrica sobre un plano horizontal con rozamientos, pero habrá que tener cuidado al plantear el problema para otros tipos de sistemas. El secreto está en hacer un buen diagrama en el que identifiquemos todas las fuerzas que actúen sobre nuestro sistema que será el sólido en rotación y traslación, con sus puntos de aplicación y direcciones correctamente dibujadas. 

En el caso de planos inclinados o con fuerzas de tracción en direcciones no ortogonales será conveniente descomponer las fuerzas en sus direcciones perpendicular y paralela al movimiento de traslación. 

En caso de ruedas con ranuras o de discos coaxiales de diferentes radios habrá que estar muy atentos a los radios y distancias a tomar al calcular los momentos de las fuerzas. 

Cuando el sistema rodante esté inicialmente en reposo y no sepamos ciertamente hacia dónde va a desplazarse, habrá que estar alerta al acometer la resolución, pues los sentidos de los rozamientos no serían los mismos según hacia donde se mueva. Mi consejo es proponer inicialmente un sentido del movimiento tirando de intuición y ver si las ecuaciones así planteadas conducen a un valor de la aceleración en dicho sentido. De lo contrario habrá que concluir que va a girar en sentido opuesto o tal vez que va a continuar en reposo, en cuyo caso la fuerza de rozamiento con el suelo va a ser menor que su valor máximo.

 

 

¿Qué cae más rápido, un elefante de carne y hueso o uno de porexpán?

Buscando una descripción realista del movimiento de caída de los cuerpos

Efectivamente. La respuesta intuitiva es la correcta. El elefante de carne y hueso cae más rápido. Sin embargo, la diferencia no es tan grande como puede parecer en un principio. Lo cierto es que si los dos elefantes cayeran desde una altura de 20 m, en el momento en que el elefante real llegase a tocar el suelo, el de porexpán, de igual forma y volumen pero de masa y densidad mucho menores, aun le faltaría un metro y medio para llegar. Sin embargo, si hubiesen caído en el mismo lugar pero en ausencia de aire, en el vacío, habrían llegado ambos exactamente a la vez y apenas dos milésimas de segundo antes.

Esta respuesta se la debía a un alumno de 4º de ESO que hace dos cursos formulaba, literalmente, tal pregunta en clase. Espero que si alguna vez lee esto  pueda darse por satisfecho, ya que mi contestación en su momento (que por la cara que puso no debió de convencerle demasiado) respondía más a una idea simplificada del movimiento de caída en el aire que a una descripción de cómo se caen realmente las cosas. A veces los profesores pecamos de explicar los fenómenos físicos reales, como la caída de un cuerpo en el aire, aplicando modelos o simplificaciones que a veces son excesivas o incluso injustificables. Los modelos teóricos son eso, modelos. Se proponen para unas condiciones ideales en las que son válidos, pero fuera de ellas no funcionan tan bien, o directamente no sirven.

Caída libre ¿Caída real?

El modelo de la caída libre de los graves en la superficie de la Tierra, que asegura que la aceleración constante de caída (g = 9,8 m/s²) es la misma para todos independientemente de su masa, forma o tamaño, es válido para cualquier cuerpo que caiga en el vacío; pero en el caso de la caída real a través del aire de la atmósfera, que todos podemos observar cotidianamente en nuestro entorno, ese modelo sólo es aceptable cuando se trata de cuerpos aerodinámicos, de masa y densidad suficientemente grandes, y durante los primeros instantes de su caída. Por otra parte, la aproximación a la caída real de la que echamos mano los profesores cuando queremos explicársela científicamente a los alumnos, asegura que el rozamiento contra el aire, que va aumentando a medida que aumenta la velocidad, hace que su aceleración vaya disminuyendo hasta alcanzar una velocidad límite a partir de la cual el cuerpo sigue cayendo con movimiento uniforme. Esta fuerza, además de la velocidad, depende de la forma y volumen del objeto, pero no de su masa. Por eso una pelota de tenis cae igual de rápido que otra llena de agua (así solemos demostrarlo experimentalmente alguna vez en el aula). 

Pero… ¿de verdad nos tenemos que creer que un gran globo hinchado con aire va a caer igual que otro de igual tamaño lleno de agua? o, como decía el alumno, que un elefante y otro de porexpán ¿van a caer igual de rápido? Como decíamos, no podemos extrapolar modelos o simplificaciones a situaciones que caen fuera de su marco de aplicación. Y lo cierto es que sí, que la aceleración de la caída en el aire sí que depende de la masa. Otra cosa es que, según en qué condiciones, este efecto sea más o menos apreciable.

Entonces ¿hay alguna manera más realista y exacta de describir la caída de los cuerpos en nuestro entorno?, ¿qué variables influyen y en qué medida?, ¿cuándo podemos asimilarla a una caída libre? Y ¿cuáles son las ecuaciones que nos permiten hallar aceleración, velocidad y altura y tiempos de caída reales según este modelo? A continuación nos ocuparemos de dar respuesta a todas estas preguntas.

 

Cinemática de la caída vertical de un cuerpo a través del aire.

Una buena aproximación mucho más realista que el modelo de la caída libre para describir la caída vertical real de los cuerpos consiste en tratarla como el movimiento de un cuerpo de masa m, densidad d  y sección transversal A cayendo con velocidad creciente v a través de un fluido gaseoso (el aire) de densidad d_f . Para evitar demasiada complejidad, aceptaremos las siguientes aproximaciones, que son perfectamente asumibles:

• Aire homogéneo a temperatura ambiente que opone una fricción proporcional al cuadrado de la velocidad, despreciando efectos aerodinámicos secundarios y turbulencias. 
• Cuerpo esférico de sección transversal circular y sin rotación.
• Gravedad superficial terrestre g, constante durante la caída. 

 

Aceleración de caída:

El cuerpo que cae a través del aire está sometido a la fuerza F resultante de tres fuerzas que darán lugar a tres componentes en su aceleración a :

• Fuerza de gravedad de la Tierra o peso del cuerpo (vertical hacia abajo y constante):   

 P = m . g

• Fuerza de empuje del aire (vertical hacia arriba y constante):  

 E = d_f . g . V

• Fuerza de rozamiento que opone el aire (vertical hacia arriba y creciente):  

 F_r = 0,2 . d_f  . A . v²

La fuerza resultante y la aceleración que ésta originana serán:

F = P - E - Fr = m . a

a  = F / m =  mg / m –  E / m  –  Fr / m  =  g – ( d_f . g . V / m ) – ( 0,2 . d_f  . A . v² / m )

a =  g –  a_e – a_r

Dado que g y a_e son constantes y a_r va creciendo desde cero a medida que el cuerpo gana velocidad, el cuerpo realmente empieza a caer con una aceleración inicial a₀ = g – a_e  y su aceleración instantánea va disminuyendo, si no llega antes al suelo, hasta que a_r = a₀. La velocidad alcanzada en ese instante ya no aumenta más, se dice que ha alcanzado su velocidad límite, y continúa su descenso con movimiento uniforme. 

Vamos a analizar a continuación, una por una, estas tres contribuciones a la aceleración que van a determinar las velocidades y los tiempos de caída, y las aplicaremos a un cuerpo de densidad d y forma esférica ( V = 4/3.π.R³ , A = π.R² ) que se deja caer en la superficie de la Tierra ( g = 9,8 m/s²) en aire a temperatura ambiente (d_f = 1,2 kg/m³).

1.- Aceleración por efecto de la gravedad (g)

g = P /m =  m . g / m  = g

La gravedad acelera a cualquier cuerpo por igual, independientemente de su masa o tamaño, como ya sabíamos. Si suprimiésemos el aire haciendo el vacío, al quitar los efectos de frenado debidos al rozamiento y el empuje del fluido, sólo actuaría la aceleración de la gravedad y en un mismo lugar todos cuerpos caerían al mismo tiempo, con aceleración constante a = g = 9,8 m/s², aumentado ilimitadamente su velocidad de caída proporcionalmente al tiempo. Es lo que se denomina caída libre.

Ejemplo: lo que se puede comprobar en el experimento de dejar caer simultáneamente una pluma y una pesa en un tubo vacío) enlace vídeo aquí. O el clásico recurso didáctico de dejar caer simultáneamente un pesado libro y una ligera pluma dejando caer estos de tal manera que el libro esté delante para quitarle a la pluma el aire de frente, privándola así del rozamiento que iba a frenar su caída)

2.- Deceleración debida al empuje del aire (a_e)

a_e  =  g . d_f  / d        a_e =  9,8 . 1,2 / d  =  11,8 / d   (u.SI)

El frenado por efecto del empuje hidrostático que ejerce el aire sobre el cuerpo que cae es inversamente proporcional a la densidad del cuerpo y constante durante su caída. Generalmente no llega a afectar más allá del segundo decimal de g, pero para cuerpos de densidades muy bajas, como grandes cuerpos huecos, puede llegar a ser la principal causa de que el cuerpo baje lentamente casi sin aceleración inicial

Ejemplo: Un globo hinchado), o incluso que “caiga” hacia arriba (ej: un globo lleno de helio). En estos casos en que a_e sea significativa, la velocidad límite disminuye sensiblemente y se alcanza más pronto.

3.- Deceleración por el rozamiento del aire (a_r) 

a_r =  Fr / m  =  0,2 . d_f . A . v² / m         

 a_r =  0,2 . 1,2 . π .R² . v² / ( d .¾R ) =  0,18 . v² / ( d .R )   (u.SI)

a_r va creciendo cuadráticamente con la velocidad de caída, desde cero hasta hacerse máxima e igual a g-a_e cuando se alcanza la velocidad límite. Para una determinada velocidad de caída, el efecto de frenado por el rozamiento es más acusado cuanta mayor sección frontal ofrezca y menor masa tenga el objeto que cae o, lo que es equivalente, cuanto menos denso y más pequeño sea.

Ejemplo: Por ser el rozamiento del aire más importante en comparación con el peso, se frena más al caer una pelota de playa hinchada con aire que la misma si se llena de agua (mayor d), y ésta última mucho menos que una gota aislada de agua (menor R). Por este motivo se justifica el hecho por todos observado de que una hormiga (ligera y pequeña) cae más despacio que una piedra (densa y grande). La hormiga acelera menos y uniformiza antes su caída con una velocidad límite más pequeña. Por este mismo motivo un paracaidista, de gran masa (m), en caída libre provoca una gran aceleración de frenado en el momento de abrir el paracaídas al aumentar drásticamente su sección frontal (A). 

 

Obtención de las demás variables cinemáticas del movimiento

Acabamos de obtener la aceleración de caída  a =  g –  a_e – a_r   en función de la velocidad :

a(v) = a₀ – a_r(v)

La velocidad límite v_L la obtendremos  haciendo  a(v) = 0  y despejando v  

La  velocidad en función del tiempo v (t)  se obtiene integrando la ecuación diferencial que queda al hacer

a(v) = a₀ – a_r(v) = dv / dt

La altura recorrida en caída vertical en función del tiempo h(t) se obtiene a partir de v(t) integrando la ecuación diferencial que resulta de hacer

v(t) = dh / dt

A partir de las ecuaciones que hemos obtenido para la aceleración en función de la velocidad a(v), y para velocidad y altura caída en función del tiempo v(t) y h(t) , despejando y recomponiéndolas debidamente, podremos relacionar cada una de estas variables cinemáticas con cualquier otra.  Tanto la tarea de resolver las ecuaciones diferenciales como la de despejar cada una de las variables a partir de sus soluciones resultan ser un tanto farragosas, por lo que se omiten aquí. Si te pica la curiosidad, o te gustan los pasatiempos, el desarrollo algebraico completo puedes consultarlo haciendo clic en este enlace. Los resultados obtenidos se muestran a continuación:

Ecuaciones del movimiento. Funciones de las variables cinemáticas a, v, h, t :

Hoja de cálculo para obtener al instante aceleración, velocidad, altura y tiempo de una caída real.

Las ecuaciones anteriores permiten obtener no sólo la aceleración, velocidad y altura recorrida en cualquier instante de un cuerpo que cae en condiciones reales, sino también la velocidad y aceleración que lleva a cierta altura o el tiempo en alcanzar determinada velocidad o altura. Pero esto resulta un poco tedioso de llevar a la práctica.

Para hacer estos cálculos al instante y poder comparar unos con otros he preparado una hoja EXCEL que puedes ver o descargar en la página de Mis Trabajos de este blog o haciendo clic en este enlace: "CALCULADOR DE CAÍDAS".  Con este calculador, partiendo de las características (masa, tamaño y densidad) de un cuerpo que cae, podrás saber al instante cuál será su velocidad límite y cuándo la alcanzará, obtener las gráficas de a, v, h vs. t de su movimiento de caída vertical y, para una variable cinemática de un punto dado de su caída (a, v, h ó t), el valor que tienen las otras tres. La hoja, además, compara los resultados de la caída real (en el aire) con los de una caída libre (en el vacío).

Ejemplos de caídas reales calculadas para algunos objetos

En la tabla siguiente se muestran los resultados obtenidos con ayuda de la hoja de cálculo para diferentes objetos que caen verticalmente en el aire desde una altura de 20 m.  Resulta interesante comparar las caídas de objetos pequeños con los grandes, de los densos con los ligeros, cuánto y cuándo son sus velocidades límite, y en cualquier caso poder comparar los resultados con la caída libre en el vacío.

Si nos fijamos atentamente en los ejemplos calculados que aparecen en la tabla, podemos observar que en condiciones reales y alturas de caída apreciables,  si se dejan caer a la vez dos cuerpos desde la misma altura podremos afirmar que:

• Si tienen igual forma y volumen, acelera menos y llega más tarde al suelo el más ligero (menor masa)

• Si tienen la misma forma y masa pero diferente densidad, o sea que uno es más voluminoso que otro, entonces acelera menos y tarda más en caer el más grande (mayor área o sección)

• Si  sólo se distinguen en la forma, o incluso siendo idénticos caen con diferente orientación, resulta evidente que tardará más en caer el que ofrezca al aire una mayor sección frontal A durante su caída.

En la figura se muestra cómo sería la “foto finish” de la caída de estos 8 cuerpos, muy diversos en tamaños y masas, durante el tiempo de una caída libre desde una altura de 20 m. Como se puede apreciar, los más densos y grandes se aproximan bastante bien a una caída libre en vacío, mientras que los más pequeños, especialmente los  más ligeros se frenan considerablemente.

Como vemos, las ecuaciones del movimiento de este modelo de caída real en que se basan estos cálculos justifican y detallan mejor lo que nuestra experiencia e intuición nos hacían ya sospechar de forma cualitativa.

 

Resumiendo ¿qué hace que unos cuerpos caigan más deprisa que otros?

En el vacío todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante g (9,8 m/s²), pero este no es el caso de las cosas que vemos caer todos los días a nuestro alrededor. Para cualquier cuerpo que caiga a través del aire, el retardo respecto a la caída libre en el vacío se debe a los  efectos  del rozamiento contra el aire y del empuje que hace este fluido. En la mayor parte de los casos, el efecto del rozamiento es más importante que el del empuje. El retardo debido al rozamiento es más acusado cuanto mayor sea la velocidad (v), menor sea la masa del cuerpo (m) y mayor el área de la sección frontal (A). El efecto del empuje es fijo y mayor cuanto menor sea la densidad del cuerpo (d).

A medida que un cuerpo desciende en su caída, la aceleración total va disminuyendo desde un valor inicial que puede ser casi igual a g (si el efecto del empuje es despreciable) hasta llegar a anularse en el momento en que la deceleración creciente debida al rozamiento iguale a la aceleración inicial. A partir de ese instante y altura, el cuerpo continuará su caída con movimiento uniforme manteniendo constante la velocidad límite (v_L) alcanzada.  La velocidad límite se alcanza antes y tiene un valor más pequeño cuanto menos masa y mayor sección frontal tenga el cuerpo y mayor sea la densidad del fluido, que en el caso del aire es inversamente proporcional a la temperatura.

 

Gráficas de velocidad y aceleración  (obtenidas con la hoja de cálculo)  de las caídas en el aire de un cuerpo grande y pesado (bola de hierro de 1 kg) y de otro pequeño y ligero (gota de agua) en comparación con su caída libre en el vacío. La gota pierde rápidamente su aceleración inicial y alcanza pronto una velocidad límite moderada. La bola, aunque discrepa algo, se aproxima bastante bien a una caída libre con aceleración g.

 

Aproximación de una caída real a una caída libre

La caída real  de un cuerpo en el aire se aproximará mejor a una caída libre en el vacío con la aceleración constante de la gravedad g,

• Cuanto más corta sea la caída (no hay tiempo para que la velocidad aumente demasiado)
• Cuanto más pesado sea el cuerpo (mayor sea su masa)
• Cuanto menos ancho sea en la dimensión transversal a la dirección de caída (menor sección)
• Cuanto más denso sea el cuerpo

A la hora de ver si podemos describir la caída de un cuerpo como una caída libre ideal con la aceleración constante de la gravedad, deberíamos valorar antes si la masa, densidad y anchura del cuerpo, así como la altura o duración de la caída nos van a permitir hacer esta aproximación con un error que podamos considerar aceptable.