¿Cuántos granos de arena hay en una playa?

 

¿En serio que nos vamos a poner a contar ahora todos los granos de arena que hay en una playa? Por supuesto que no. Aparte de que a nadie le importa ni falta que hace, hacer ese recuento para obtener un número exacto llevaría un tiempo descomunalmente grande. Pero si aun así tenemos curiosidad por saberlo, hay que decir que lo importante no es la cifra exacta sino su orden de magnitud. Es decir, si estamos hablando de millones, de miles de millones, de billones o de trillones de granos. En casos como este se recurre a hacer una estimación. Estimar una cantidad no es lo mismo que aventurar un valor a ojo, sino que requiere buen criterio, sentido común, seguir unas reglas, hacer algunos cálculos y un poco de creatividad.

Por cierto, he hecho una estimación del tiempo que tardaría una cuadrilla de 200 personas infatigables en contar los granos de arena de la playa descrita en esta entrada, a razón de 2 granos por segundo y sin pararse para comer ni dormir. Les llevaría ¡un millón de años! Para conseguirlo, además de infatigables tendrían que ser inmortales.

La pregunta que encabeza este artículo está tomada de un ejercicio del libro de Física de Tipler, ejemplo del capítulo referido al Orden de Magnitud. (P. Tipler, G. Mosca. Física para la ciencia y la tecnología Vol.1. Reverté. 6ª Ed, 2010). Ejemplo 1.7 pág 13.

Aceptemos pues el reto. Para describir cómo debe abordarse de una forma metódica una cuestión de estas características, vamos a hacer un cálculo estimativo de cuántos granos de arena puede haber en una playa, pero no en una playa genérica, sino en mi playa favorita: La playa de Patos, en el municipio de Nigrán (Pontevedra).

La playa de Patos está situada en la boca de la ría de Vigo, abierta a las aguas frías del Atlántico, pero protegida por las islas Cíes, que se alzan frente a ella ofreciendo una vista espectacular. Por sus buenas olas es un lugar ideal para la práctica del surf.  Puede que no sea la más bonita de las bellísimas playas de las Rías Baixas, pero es mi favorita porque forma parte de mi vida y disfruto de ella todos los veranos junto a mi familia.

Foto: Playa de Patos en Nigrán (Pontevedra). Bonita playa, pero hay demasiada arena como para ponerse contar los granos, ¡qué pereza!, pero no nos vamos a quedar con la duda.

 

 

Estimación del número de granos de arena de la playa de Patos de Nigrán

 

1º Definición concreta del problema

En este caso es preciso establecer qué define la extensión de la playa. Como esto puede ser subjetivo, vamos a considerar la playa como el arenal comprendido desde los límites laterales a los que se refiere la geografía y toponimia de la misma; la anchura comprendida entre la parte superior cuyo límite viene definido por taludes, muros, paseos o caminos y la línea promedio de la orilla entre la bajamar y la pleamar. Es decir, lo que es la playa con ese nombre que por término medio pueden disfrutar los bañistas sin mojarse. Es importante empezar acotando bien el problema, ya que el resultado de la estimación podría ser desde diez veces mayor o disminuir hasta la décima parte.

 

2º Compromiso en la precisión de la estimación

¿Cuánta precisión en el recuento de granos de arena deseamos o podemos realmente alcanzar? Por un lado, la precisión de esta estimación quedaría bastante limitada por la propia arbitrariedad de hasta dónde decidimos que llega la playa, y por la imprecisión añadida debida a las aproximaciones e idealizaciones a las que vamos a tener que recurrir.  Por otra parte, lo que nos interesa saber en este caso no es una cifra más o menos exacta, sino el orden de magnitud que la afecta, ¿unos millones? ¿unos billones? Con eso ya sería más que suficiente.

 

3º Establecer las premisas del cálculo recurriendo a hipótesis y aproximaciones razonables

3.1 Dimensiones de la playa

Como se ve en la figura (tomada de Google Earth), la playa tiene aproximadamente una longitud de unos 1000 m y una anchura de 20 m en sus extremos y de unos 80 m en su parte central. La curvatura de la orilla no es muy grande en comparación con su longitud. Estas distancias se pueden medir en cualquier aplicación de mapas o, en este caso, sencillamente paseando por la playa, a ojo y contando el tiempo. Hay coincidencia.

Para estimar su superficie total podríamos idealizar la forma de la playa como se muestra en el dibujo que se ve que es equivalente al área de un rectángulo de aproximadamente 1000 x 50 m

La estimación más arbitraria es la de la profundidad del arenal. No es uniforme, ya que la capa de arena se va haciendo más gruesa cuanto más nos alejemos de la orilla. Por otra parte, decir hasta qué profundidad de arena se le puede seguir llamando “playa” es una cuestión subjetiva, ¿profundidad hasta tocar el sustrato rocoso?, ¿hasta el nivel del mar en la orilla a media marea? Observando cómo es, más o menos, el terreno circundante y la pendiente media de la playa, hemos hecho una estimación promedio de unos 3 m de profundidad. De cualquier modo, estamos hablando de un orden de magnitud de metros, no decenas ni centenas de metros, con lo que esta estimación no va a ser demasiado relevante en el orden de magnitud del resultado final.

Finalmente, las dimensiones que vamos a considerar son:

• Longitud:  l = 1000 m ; anchura:  a = 50 m ; profundidad: h = 3 m

 

3.2 Forma y tamaño de los granos de arena

Una aproximación bastante razonable es considerar los granos, en su infinidad y diversidad, como si fuesen todos pequeñas esferas iguales de determinado diámetro promedio. Esto facilita indudablemente los cálculos, pero habrá que afinar lo mejor posible el diámetro que vamos a estimar. El tamaño de los granos de una playa varía por zonas: en general son más gruesos cuanto más alejados estén de la orilla del mar y a menos profundidad estén enterrados, mientras que los más finos están hacia el mar y más enterrados en la playa. En este caso estimaremos un diámetro promedio observando el aspecto de los granos de la orilla y los de más arriba, resultando una variedad de tamaños comprendida aproximadamente entre 0,01 y 0,5 mm (esto es fácil de estimar desparramando un poco de arena junto a una reglita milimetrada y la ayuda de una lupa). Tomaremos como diámetro el valor medio.

•  Diámetro de los granos:  D = 0,25 mm

  

3.3 Grado de empaquetamiento de los granos

Los granos se han ido apilando con el paso del tiempo y el efecto de las corrientes, las mareas, el vientol y la gravedad, hasta formar el arenal de la playa. Esto permite suponer que han tenido tiempo para encontrar la forma de empaquetamiento más estable, que es la que menos huecos deja entre unos granos y otros. Como hemos idealizado granos de forma esférica, el mayor grado de empaquetamiento posible es el hexagonal compacto, que tiene un factor de empaquetamiento (razón entre la suma de los volúmenes de los granos y el volumen total que llenan, espacios vacíos incluidos) que es de un 74%.  A la hora de hallar el número de granos totales, tendremos que corregir el cociente entre el volumen de la playa y el volumen de un grano multiplicando por este factor.

•  Factor de empaquetamiento estimado: E = 0,74

 

4º Cálculos y resultado de la estimación

•       Volumen de un grano de arena: V_G

            _VG  = 4p R³ / 3 = 4p (0,25/2)³ / 3  = 8,18 .10^-3 mm³ = 8,18 .10^-12 m³

•       Volumen de playa: V_PV

          V_P = l a h = 1000 . 50 . 3 = 1,5 .10⁵ m³

•       Número de granos de arena: N 

         N = E (V_P / V_G) = 0,74 (1,5 .10⁵ / 8,18 .10^-12) = 1,4 .10¹⁶ granos de arena

Dadas las aproximaciones realizadas y la arbitrariedad en la definición del problema, estaría bien quedarnos sólo con una cifra significativa que en este caso coincide con redondear al orden de magnitud que viene dado por la potencia de diez.

En conclusión, podemos afirmar que la playa tiene aproximadamente unos 10¹⁶ (10 000 000 000 000 000) granos de arena, es decir, unos diez mil billones de granos.

Generalización:

Aprovechando lo razonado en este caso, podemos generalizar una fórmula para estimar el número N de granos de arena de cualquier playa, en función de los valores promedio estimados para la longitud l, anchura a y profundidad h del arenal, y el diámetro D de los granos:

N = 1,44  l a h / D³

Una observación final:

Es curioso el efecto que tendría el resultado final el hecho de haber considerado valores bastante diferentes en las dimensiones de partida, como por ejemplo suponer el doble o la mitad de anchura, longitud o profundidad de la arena, o el doble o la mitad del diámetro de los granos.  Aunque esto llevaría a doblar o reducir a la mitad tamaño de la playa y el número total de granos, no cambiaría significativamente el orden de magnitud del resultado, es decir, seguiríamos hablando igualmente de decenas de miles de billones.

 

Comparativa:

Comparando con otras cantidades estimadas para otros conjuntos, en una playa como la de Patos hay aproximadamente… 

 

Mil setecientos millones de granos de arena por cada persona que hay en el mundo (8,2. 10⁶).

 
Cien mil granos por cada estrella que hay en nuestra galaxia (10¹¹)

 
Diez mil granos por cada galaxia del universo observable (2.10¹²)

 
Pero sorprendentemente, hay mil veces más insectos viviendo en el planeta (10¹⁹) que arenitas reposando en la playa.

 
Y hay nada menos que mil millones de veces más moléculas en un vaso de agua (10^25,) que granos de arena en toda en la playa.

 

 

 

 

 

 

 

 

Lecciones de los maestros

 

"Lecciones de los maestros" es el título de un libro de George Steiner, filósofo y crítico literario, que gira alrededor del intenso encuentro personal que tiene lugar entre las figuras del maestro y el discípulo.  Habla de muchos personajes ejemplares: Sócrates y Platón, Jesús y sus discípulos, Brahe y Kepler, Husserl y Heidegger, entre otros. A través de ellos analiza los distintos aspectos de esta compleja relación, como el poder del maestro y la vulnerabilidad del discípulo o el recíproco intercambio de confianza y amor, de aprendizaje y enseñanza entre el profesor y el alumno. 

Pero esta entrada no va de este libro, sino de lo que yo creo que es un maestro y del reconocimiento a las personas que lo han sido para mí hasta hacerme profesor de Física y Química.

Si empiezo citando este libro en vez de cualquier otro de pedagogía que trate el tema de las figuras del maestro y el alumno es porque, hace ya mucho tiempo, mi profesor de Química Física de la Universidad me recomendó su lectura cuando supo que ya me dedicaba a la docencia. Antes de leerlo, ya consideraba yo que este profesor había sido para sus alumnos, y especialmente para mí, un auténtico maestro. Pero ¿qué es para mí un maestro? ¿quiénes han sido mis maestros? Lo que sigue a partir de aquí es una reflexión puramente personal y subjetiva sobre estas preguntas.

 

Instructores, profesores, maestros

Según la terminología al uso, los docentes son los profesionales de la enseñanza, las personas en las que recae la tarea de la educación y la enseñanza dentro del sistema educativo.  Así, en la categoría “docentes” se incluyen educadores, formadores, instructores, monitores, orientadores, profesores (universitarios, de educación secundaria, de ciclos formativos) y maestros ( de taller, de educación  infantil y primaria).

El proceso de enseñanza-aprendizaje requiere generalmente una relación directa entre dos personas, el docente, que es el que da enseñanza, y el discente, que es el que la recibe. El primero pone a disposición del segundo  recursos como sus conocimientos, experiencia, habilidades comunicativas y de liderazgo o incluso el ejemplo de su actitud. El discente, por su parte, tiene en su mano el aprovechar este potencial en su propio beneficio y el de la sociedad en la que vive, para ir consolidando su educación y forjar sus propios conocimientos y habilidades; establece un “feed-back” con su mentor que retroalimenta su bagaje como docente.  Este  proceso se basa en una transferencia que tiene lugar  dentro de un binomio de personas:  docente-discente, profesor-alumno, maestro-discípulo. Para que ambos existan, el uno necesita al otro, y si tratamos de aislarlos desaparecen como tales.

Generalmente se suele utilizar el apelativo de profesor para los docentes de enseñanzas superior y secundaria, incluyendo formación profesional,  escuelas de idiomas y música, y academias, y el de maestro para los profesionales de enseñanzas infantil y primaria. Pero independientemente del significado preciso que hoy se le dé a cada palabra, significado que por otra parte va cambiando con los tiempos y las modas, yo pienso que los docentes y educadores en general se podrían distribuir en tres categorías que son a su vez tres niveles de jerarquía: Instructores, profesores y maestros.

El instructor es el docente que se limita a enseñar. Actúa como correa de transmisión entre la materia que hay que impartir y los alumnos. Cuando imparte sus clases, el instructor tira de manual, de apuntes y esquemas, y utiliza recetas genéricas que en muchas ocasiones poco tienen que ver con la realidad que tiene en su aula. Puede que tenga muchos conocimientos, pero no le preocupa que sus alumnos saquen beneficio de ello. El instructor puede que hable mucho, pero observa poco. Enseña, sí,  pero no considera el aprendizaje de sus alumnos como una parte esencial de su trabajo.

El Profesor ejerce la profesión de la docencia en el sentido más amplio. Cuenta con las virtudes de un buen instructor, pero tiene un valor añadido que es el de la profesionalidad. El profesor se preocupa no solo en enseñar a los alumnos como es debido  sino también de que estos aprendan. Tampoco descuida otros aspectos importantes de su profesión, como la planificación y programación de sus clases, la evaluación o su propia formación continuada como docente, y tiene claro que el objetivo de su trabajo es la educación de sus alumnos.   Los resultados logrados en el aprendizaje de éstos son el aval para que un docente pueda ser reconocido como profesor, y con esto no me estoy refiriendo en absoluto al porcentaje de aprobados.

El Maestro, finalmente,  además de ser un educador profesional que reúne  todo lo que se puede decir de un buen profesor, es aquel que logra dejar una huella personal en la formación de su alumno, que en este caso ya se podría calificar de discípulo. El maestro se ha implicado en la docencia a nivel profesional pero también personal. Ha dado una parte de él mismo a sus alumnos y éstos la han hecho suya, pues no sólo ha utilizado sus recursos didácticos con destreza sino que también ha sido capaz de transmitir ilusión, emoción y ejemplo. El maestro  ha conseguido crear un vínculo personal con el alumno, que no tiene que ser necesariamente de amistad ni muchísimo menos  de “colegueo”,  de tal manera que el alumno siempre  reconocerá a aquel como un referente personal que ha dejado huella no sólo en su conocimiento sino también en sus ilusiones y expectativas, a veces más allá de la propia disciplina que le impartió.    Un profesor sólo puede ganar el título de maestro cuando existe tal reconocimiento por parte de su discípulo.

Finalmente, estas tres categorías de instructores, profesores y maestros no las considero cerradas o excluyentes. Sus fronteras son difusas y la posición que puede ocupar un docente en medio de ellas no depende sólo de sí mismo, sino que influyen otros factores externos, como su estado actual de fuerzas y ánimo, la actitud del alumnado, el funcionamiento del centro docente o su relación con la administración educativa. Yo creo que todos los profesores nos hemos visto alguna vez a nosotros mismos surfeando entre estas tres aguas, pero si mi experiencia me ha enseñado algo es que cada binomio profesor-alumno es un universo particular y diferente de los demás. Uno puede ser llegar a ser un  maestro para uno y no pasar de instructor con otro, en otro momento y circunstancias.

Todos hemos sido alguna vez alumnos, algunos también hemos ejercido la docencia. Más allá de reconocer la labor profesional de muchos de nuestros docentes ¿Quién no recuerda a algún profesor o profesora especial que le haya dejado huella en su educación o al que deba su vocación profesional, o alguna profesora o profesor admirado con esa mezcla de reconocimiento y cariño que sólo un maestro puede tener en exclusiva?

Yo sí que los he tenido. Fueron unos cuantos. A ellos les debo en gran parte tanto mi vocación como mi preparación como profesor de Física y Química, labor a la que me he venido dedicando durante más de 35 años.  De una forma u otra, cada cual a su manera y en mayor o menor medida, todos ellos fueron mis maestros. Y ahora, retirado ya de la docencia en activo, me gustaría hacer público mi agradecimiento hacia ellos.

 

Reconocimiento a mis maestros

De la veintena de profesores de química o de física que he tenido en total, sólo cuatro fueron profesoras que, aún siendo buenas profesionales, no adquirieron la categoría (subjetiva y personal) de maestras. Puede que llame la atención la ausencia de mujeres en mi lista, pero es una mera cuestión estadística. Lo digo por si acaso.

Empiezo desde la enseñanza secundaria, en el Instituto San Pelayo de Tui. Allá por los años 70, tuve dos profesores de Física y Química a los que debo de estar bien agradecido. A José Manuel Castedo, con su entusiasmo y su claridad en la explicación, por haber despertado en mí el interés por la asignatura, y a Manuel Agrafojo, porque durante los tres últimos años del bachillerato (antiguamente duraba 6 + 1) fue el responsable de mi preparación en estas dos materias hasta el final de esa etapa, dejándome en buenas condiciones para iniciar mi carrera de químico.

En la Facultad de Química de la Universidad de Santiago de Compostela tuve la suerte de poder contar con muy buenos profesores, algunos de ellos de reconocido prestigio científico internacional. Sin ánimo de dejar de reconocer la capacitación y profesionalidad de la mayoría de ellos, sólo unos pocos han merecido para mí la categoría de maestros y es a ellos a quienes quiero citar.

Mi gran maestro fue Julio Casado Linarejos, entonces catedrático de Química Física y jefe de dicho departamento, de quien ya he hablado al principio sin nombrarlo al referirme al profesor que me recomendó la lectura que da título a esta entrada. El profesor Casado era uno de esos catedráticos altamente reconocidos. Su pequeño tamaño físico se crecía cuando impartía sus clases de Química Física.  Era exigente y sus clases eran exhaustivas, a veces agotadoras, pero de un altísimo nivel de contenido, tanto en cantidad como en calidad. Eso por no hablar de su gran calidad didáctica, Don Julio (Julito, como nos referíamos a él sus alumnos cariñosamente  en la clandestinidad) explicaba los conceptos y problemas más complejos de la química cuántica o la termodinámica estadística con una claridad espectacular y una pasión que se contagiaba, y sin perder nunca de vista la biografía de sus autores y su contexto histórico. Trabajaba y hacía trabajar, entendía y hacía entender. Sus exámenes eran agotadores, de hasta seis horas, pero tenían una ventaja y es que es que siempre se sabía qué es lo que iba a caer… ¡Todo!. A él le debo mi interés, que dura hasta hoy, y los cimientos de mi modesta preparación en el campo de la Química Física, además de haber despertado en mí una afición a la literatura tanto científica como general que en aquellos tiempos tenía un poco adormilada. 

 

La Química Física

Abro un paréntesis en este relato. En varias ocasiones me han preguntado que qué es la Química Física. Si acudes a los escritos, encontrarás varias definiciones un tanto ambiguas. A mí me gusta decir que la Química Física o, lo que es lo mismo, la Fisicoquímica,  es Física al servicio de la Química. Es química en cuanto a los objetivos y los temas que trata, pero es física en cuanto a su desarrollo y  procedimientos.  Así, La Química Física no es un bloque de contenidos más ni un compartimento estanco dentro de la química general, sino que se aplica a todas las ramas de ésta, como la química inorgánica, La química orgánica, la bioquímica, la química cuántica, la electroquímica o la termoquímica, por citar algunas. 

Utilizando un símil balístico, la Química Física sería como el caso de un tirador que apunta con su arma a un objetivo. El objetivo o la diana serían los sistemas químicos y sus diferentes aspectos (las sustancias químicas, sus propiedades y reacciones, disoluciones, átomos y moléculas…,). El arma sería la Física y su metodología (cinética, termodinámica, mecánica clásica o cuántica, electromagnetismo… , y la munición la Matemática (cálculo, álgebra, estadística…). En cuanto al propio tirador que con su destreza y experiencia hace lo posible por sacarle partido al arma y hacer blanco en la diana, sería el equivalente a los profesionales y estudiantes que ejercen esa disciplina así como a todos los autores que han contribuido a crear su abundante bibliografía.

Abundando un poco más. Si actualmente la Química es lo que es, una ciencia completa y precisa con un enorme potencial tanto descriptivo como predictivo y un vasto campo de aplicación que se extiende más allá de los sistemas químicos propiamente dichos, es gracias a la Química Física. Sin la ayuda de la Física, la Química se hubiera quedado estancada en un compendio de descripciones y recetas. 

 

A lo que estábamos. Mis maestros

Cerremos este paréntesis y  volvamos a hablar de mis maestros. Florencio Arce fue mi primer y mi último profesor de Química en la Facultad. En primero me dio una visión muy clara y completa de lo que era la Química General, con la calidad de sus explicaciones lo hacía todo fácil. En quinto volvimos a encontrarnos, con la Electroquímica.

En segundo tuve la suerte de ser alumno del carismático profesor de Química Inorgánica Manolo Bermejo, de enorme talla tanto científica como humana, quien además de explicar impecablemente esta disciplina, fue capaz de hacernos ver la conexión de la Química que nos enseñaba con la realidad social en la que nos desenvolvíamos. Manolo Bermejo fue a su vez un pionero en normalizar la lengua gallega en el mundo de la comunicación científica.

Rafael Suau, profesor catedrático de Química Orgánica, con su sabiduría y profesionalidad en el aula, fue el artífice que consiguió que yo aprendiese a estudiar correctamente y a dominar  esta vasta y dura parte de la química que tanto tiempo y esfuerzo exige.

Y  volviendo a la Química Física, quiero terminar citando a Juan Manuel Antelo, mi profesor de Cinética Química y director de tesina durante mis dos últimos años de carrera. Él me formó en esta especialidad y con él aprendí a hacer investigación experimental y teórica en este campo de la química. Con su estilo tranquilo, amable, dejándome aprender a mi ritmo y depositando en mí toda su confianza.

Reitero mi reconocimiento a la labor de todos los profesores de los cuales he sido alumno y que no he citado aquí, pues todos han contribuido a mi formación, pero siempre estaré especialmente agradecido a las lecciones de mis maestros.