¿Qué cae más rápido, un elefante de carne y hueso o uno de porexpán?

Buscando una descripción realista del movimiento de caída de los cuerpos

Efectivamente. La respuesta intuitiva es la correcta. El elefante de carne y hueso cae más rápido. Sin embargo, la diferencia no es tan grande como puede parecer en un principio. Lo cierto es que si los dos elefantes cayeran desde una altura de 20 m, en el momento en que el elefante real llegase a tocar el suelo, el de porexpán, de igual forma y volumen pero de masa y densidad mucho menores, aun le faltaría un metro y medio para llegar. Sin embargo, si hubiesen caído en el mismo lugar pero en ausencia de aire, en el vacío, habrían llegado ambos exactamente a la vez y apenas dos milésimas de segundo antes.

Esta respuesta se la debía a un alumno de 4º de ESO que hace dos cursos formulaba, literalmente, tal pregunta en clase. Espero que si alguna vez lee esto  pueda darse por satisfecho, ya que mi contestación en su momento (que por la cara que puso no debió de convencerle demasiado) respondía más a una idea simplificada del movimiento de caída en el aire que a una descripción de cómo se caen realmente las cosas. A veces los profesores pecamos de explicar los fenómenos físicos reales, como la caída de un cuerpo en el aire, aplicando modelos o simplificaciones que a veces son excesivas o incluso injustificables. Los modelos teóricos son eso, modelos. Se proponen para unas condiciones ideales en las que son válidos, pero fuera de ellas no funcionan tan bien, o directamente no sirven.

Caída libre ¿Caída real?

El modelo de la caída libre de los graves en la superficie de la Tierra, que asegura que la aceleración constante de caída (g = 9,8 m/s²) es la misma para todos independientemente de su masa, forma o tamaño, es válido para cualquier cuerpo que caiga en el vacío; pero en el caso de la caída real a través del aire de la atmósfera, que todos podemos observar cotidianamente en nuestro entorno, ese modelo sólo es aceptable cuando se trata de cuerpos aerodinámicos, de masa y densidad suficientemente grandes, y durante los primeros instantes de su caída. Por otra parte, la aproximación a la caída real de la que echamos mano los profesores cuando queremos explicársela científicamente a los alumnos, asegura que el rozamiento contra el aire, que va aumentando a medida que aumenta la velocidad, hace que su aceleración vaya disminuyendo hasta alcanzar una velocidad límite a partir de la cual el cuerpo sigue cayendo con movimiento uniforme. Esta fuerza, además de la velocidad, depende de la forma y volumen del objeto, pero no de su masa. Por eso una pelota de tenis cae igual de rápido que otra llena de agua (así solemos demostrarlo experimentalmente alguna vez en el aula). 

Pero… ¿de verdad nos tenemos que creer que un gran globo hinchado con aire va a caer igual que otro de igual tamaño lleno de agua? o, como decía el alumno, que un elefante y otro de porexpán ¿van a caer igual de rápido? Como decíamos, no podemos extrapolar modelos o simplificaciones a situaciones que caen fuera de su marco de aplicación. Y lo cierto es que sí, que la aceleración de la caída en el aire sí que depende de la masa. Otra cosa es que, según en qué condiciones, este efecto sea más o menos apreciable.

Entonces ¿hay alguna manera más realista y exacta de describir la caída de los cuerpos en nuestro entorno?, ¿qué variables influyen y en qué medida?, ¿cuándo podemos asimilarla a una caída libre? Y ¿cuáles son las ecuaciones que nos permiten hallar aceleración, velocidad y altura y tiempos de caída reales según este modelo? A continuación nos ocuparemos de dar respuesta a todas estas preguntas.

 

Cinemática de la caída vertical de un cuerpo a través del aire.

Una buena aproximación mucho más realista que el modelo de la caída libre para describir la caída vertical real de los cuerpos consiste en tratarla como el movimiento de un cuerpo de masa m, densidad d  y sección transversal A cayendo con velocidad creciente v a través de un fluido gaseoso (el aire) de densidad d_f . Para evitar demasiada complejidad, aceptaremos las siguientes aproximaciones, que son perfectamente asumibles:

• Aire homogéneo a temperatura ambiente que opone una fricción proporcional al cuadrado de la velocidad, despreciando efectos aerodinámicos secundarios y turbulencias. 
• Cuerpo esférico de sección transversal circular y sin rotación.
• Gravedad superficial terrestre g, constante durante la caída. 

 

Aceleración de caída:

El cuerpo que cae a través del aire está sometido a la fuerza F resultante de tres fuerzas que darán lugar a tres componentes en su aceleración a :

• Fuerza de gravedad de la Tierra o peso del cuerpo (vertical hacia abajo y constante):   

 P = m . g

• Fuerza de empuje del aire (vertical hacia arriba y constante):  

 E = d_f . g . V

• Fuerza de rozamiento que opone el aire (vertical hacia arriba y creciente):  

 F_r = 0,2 . d_f  . A . v²

La fuerza resultante y la aceleración que ésta originana serán:

F = P - E - Fr = m . a

a  = F / m =  mg / m –  E / m  –  Fr / m  =  g – ( d_f . g . V / m ) – ( 0,2 . d_f  . A . v² / m )

a =  g –  a_e – a_r

Dado que g y a_e son constantes y a_r va creciendo desde cero a medida que el cuerpo gana velocidad, el cuerpo realmente empieza a caer con una aceleración inicial a₀ = g – a_e  y su aceleración instantánea va disminuyendo, si no llega antes al suelo, hasta que a_r = a₀. La velocidad alcanzada en ese instante ya no aumenta más, se dice que ha alcanzado su velocidad límite, y continúa su descenso con movimiento uniforme. 

Vamos a analizar a continuación, una por una, estas tres contribuciones a la aceleración que van a determinar las velocidades y los tiempos de caída, y las aplicaremos a un cuerpo de densidad d y forma esférica ( V = 4/3.π.R³ , A = π.R² ) que se deja caer en la superficie de la Tierra ( g = 9,8 m/s²) en aire a temperatura ambiente (d_f = 1,2 kg/m³).

1.- Aceleración por efecto de la gravedad (g)

g = P /m =  m . g / m  = g

La gravedad acelera a cualquier cuerpo por igual, independientemente de su masa o tamaño, como ya sabíamos. Si suprimiésemos el aire haciendo el vacío, al quitar los efectos de frenado debidos al rozamiento y el empuje del fluido, sólo actuaría la aceleración de la gravedad y en un mismo lugar todos cuerpos caerían al mismo tiempo, con aceleración constante a = g = 9,8 m/s², aumentado ilimitadamente su velocidad de caída proporcionalmente al tiempo. Es lo que se denomina caída libre.

Ejemplo: lo que se puede comprobar en el experimento de dejar caer simultáneamente una pluma y una pesa en un tubo vacío) enlace vídeo aquí. O el clásico recurso didáctico de dejar caer simultáneamente un pesado libro y una ligera pluma dejando caer estos de tal manera que el libro esté delante para quitarle a la pluma el aire de frente, privándola así del rozamiento que iba a frenar su caída)

2.- Deceleración debida al empuje del aire (a_e)

a_e  =  g . d_f  / d        a_e =  9,8 . 1,2 / d  =  11,8 / d   (u.SI)

El frenado por efecto del empuje hidrostático que ejerce el aire sobre el cuerpo que cae es inversamente proporcional a la densidad del cuerpo y constante durante su caída. Generalmente no llega a afectar más allá del segundo decimal de g, pero para cuerpos de densidades muy bajas, como grandes cuerpos huecos, puede llegar a ser la principal causa de que el cuerpo baje lentamente casi sin aceleración inicial

Ejemplo: Un globo hinchado), o incluso que “caiga” hacia arriba (ej: un globo lleno de helio). En estos casos en que a_e sea significativa, la velocidad límite disminuye sensiblemente y se alcanza más pronto.

3.- Deceleración por el rozamiento del aire (a_r) 

a_r =  Fr / m  =  0,2 . d_f . A . v² / m         

 a_r =  0,2 . 1,2 . π .R² . v² / ( d .¾R ) =  0,18 . v² / ( d .R )   (u.SI)

a_r va creciendo cuadráticamente con la velocidad de caída, desde cero hasta hacerse máxima e igual a g-a_e cuando se alcanza la velocidad límite. Para una determinada velocidad de caída, el efecto de frenado por el rozamiento es más acusado cuanta mayor sección frontal ofrezca y menor masa tenga el objeto que cae o, lo que es equivalente, cuanto menos denso y más pequeño sea.

Ejemplo: Por ser el rozamiento del aire más importante en comparación con el peso, se frena más al caer una pelota de playa hinchada con aire que la misma si se llena de agua (mayor d), y ésta última mucho menos que una gota aislada de agua (menor R). Por este motivo se justifica el hecho por todos observado de que una hormiga (ligera y pequeña) cae más despacio que una piedra (densa y grande). La hormiga acelera menos y uniformiza antes su caída con una velocidad límite más pequeña. Por este mismo motivo un paracaidista, de gran masa (m), en caída libre provoca una gran aceleración de frenado en el momento de abrir el paracaídas al aumentar drásticamente su sección frontal (A). 

 

Obtención de las demás variables cinemáticas del movimiento

Acabamos de obtener la aceleración de caída  a =  g –  a_e – a_r   en función de la velocidad :

a(v) = a₀ – a_r(v)

La velocidad límite v_L la obtendremos  haciendo  a(v) = 0  y despejando v  

La  velocidad en función del tiempo v (t)  se obtiene integrando la ecuación diferencial que queda al hacer

a(v) = a₀ – a_r(v) = dv / dt

La altura recorrida en caída vertical en función del tiempo h(t) se obtiene a partir de v(t) integrando la ecuación diferencial que resulta de hacer

v(t) = dh / dt

A partir de las ecuaciones que hemos obtenido para la aceleración en función de la velocidad a(v), y para velocidad y altura caída en función del tiempo v(t) y h(t) , despejando y recomponiéndolas debidamente, podremos relacionar cada una de estas variables cinemáticas con cualquier otra.  Tanto la tarea de resolver las ecuaciones diferenciales como la de despejar cada una de las variables a partir de sus soluciones resultan ser un tanto farragosas, por lo que se omiten aquí. Si te pica la curiosidad, o te gustan los pasatiempos, el desarrollo algebraico completo puedes consultarlo haciendo clic en este enlace. Los resultados obtenidos se muestran a continuación:

Ecuaciones del movimiento. Funciones de las variables cinemáticas a, v, h, t :

Hoja de cálculo para obtener al instante aceleración, velocidad, altura y tiempo de una caída real.

Las ecuaciones anteriores permiten obtener no sólo la aceleración, velocidad y altura recorrida en cualquier instante de un cuerpo que cae en condiciones reales, sino también la velocidad y aceleración que lleva a cierta altura o el tiempo en alcanzar determinada velocidad o altura. Pero esto resulta un poco tedioso de llevar a la práctica.

Para hacer estos cálculos al instante y poder comparar unos con otros he preparado una hoja EXCEL que puedes ver o descargar en la página de Mis Trabajos de este blog o haciendo clic en este enlace: "CALCULADOR DE CAÍDAS".  Con este calculador, partiendo de las características (masa, tamaño y densidad) de un cuerpo que cae, podrás saber al instante cuál será su velocidad límite y cuándo la alcanzará, obtener las gráficas de a, v, h vs. t de su movimiento de caída vertical y, para una variable cinemática de un punto dado de su caída (a, v, h ó t), el valor que tienen las otras tres. La hoja, además, compara los resultados de la caída real (en el aire) con los de una caída libre (en el vacío).

Ejemplos de caídas reales calculadas para algunos objetos

En la tabla siguiente se muestran los resultados obtenidos con ayuda de la hoja de cálculo para diferentes objetos que caen verticalmente en el aire desde una altura de 20 m.  Resulta interesante comparar las caídas de objetos pequeños con los grandes, de los densos con los ligeros, cuánto y cuándo son sus velocidades límite, y en cualquier caso poder comparar los resultados con la caída libre en el vacío.

Si nos fijamos atentamente en los ejemplos calculados que aparecen en la tabla, podemos observar que en condiciones reales y alturas de caída apreciables,  si se dejan caer a la vez dos cuerpos desde la misma altura podremos afirmar que:

• Si tienen igual forma y volumen, acelera menos y llega más tarde al suelo el más ligero (menor masa)

• Si tienen la misma forma y masa pero diferente densidad, o sea que uno es más voluminoso que otro, entonces acelera menos y tarda más en caer el más grande (mayor área o sección)

• Si  sólo se distinguen en la forma, o incluso siendo idénticos caen con diferente orientación, resulta evidente que tardará más en caer el que ofrezca al aire una mayor sección frontal A durante su caída.

En la figura se muestra cómo sería la “foto finish” de la caída de estos 8 cuerpos, muy diversos en tamaños y masas, durante el tiempo de una caída libre desde una altura de 20 m. Como se puede apreciar, los más densos y grandes se aproximan bastante bien a una caída libre en vacío, mientras que los más pequeños, especialmente los  más ligeros se frenan considerablemente.

Como vemos, las ecuaciones del movimiento de este modelo de caída real en que se basan estos cálculos justifican y detallan mejor lo que nuestra experiencia e intuición nos hacían ya sospechar de forma cualitativa.

 

Resumiendo ¿qué hace que unos cuerpos caigan más deprisa que otros?

En el vacío todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante g (9,8 m/s²), pero este no es el caso de las cosas que vemos caer todos los días a nuestro alrededor. Para cualquier cuerpo que caiga a través del aire, el retardo respecto a la caída libre en el vacío se debe a los  efectos  del rozamiento contra el aire y del empuje que hace este fluido. En la mayor parte de los casos, el efecto del rozamiento es más importante que el del empuje. El retardo debido al rozamiento es más acusado cuanto mayor sea la velocidad (v), menor sea la masa del cuerpo (m) y mayor el área de la sección frontal (A). El efecto del empuje es fijo y mayor cuanto menor sea la densidad del cuerpo (d).

A medida que un cuerpo desciende en su caída, la aceleración total va disminuyendo desde un valor inicial que puede ser casi igual a g (si el efecto del empuje es despreciable) hasta llegar a anularse en el momento en que la deceleración creciente debida al rozamiento iguale a la aceleración inicial. A partir de ese instante y altura, el cuerpo continuará su caída con movimiento uniforme manteniendo constante la velocidad límite (v_L) alcanzada.  La velocidad límite se alcanza antes y tiene un valor más pequeño cuanto menos masa y mayor sección frontal tenga el cuerpo y mayor sea la densidad del fluido, que en el caso del aire es inversamente proporcional a la temperatura.

 

Gráficas de velocidad y aceleración  (obtenidas con la hoja de cálculo)  de las caídas en el aire de un cuerpo grande y pesado (bola de hierro de 1 kg) y de otro pequeño y ligero (gota de agua) en comparación con su caída libre en el vacío. La gota pierde rápidamente su aceleración inicial y alcanza pronto una velocidad límite moderada. La bola, aunque discrepa algo, se aproxima bastante bien a una caída libre con aceleración g.

 

Aproximación de una caída real a una caída libre

La caída real  de un cuerpo en el aire se aproximará mejor a una caída libre en el vacío con la aceleración constante de la gravedad g,

• Cuanto más corta sea la caída (no hay tiempo para que la velocidad aumente demasiado)
• Cuanto más pesado sea el cuerpo (mayor sea su masa)
• Cuanto menos ancho sea en la dimensión transversal a la dirección de caída (menor sección)
• Cuanto más denso sea el cuerpo

A la hora de ver si podemos describir la caída de un cuerpo como una caída libre ideal con la aceleración constante de la gravedad, deberíamos valorar antes si la masa, densidad y anchura del cuerpo, así como la altura o duración de la caída nos van a permitir hacer esta aproximación con un error que podamos considerar aceptable.