¡Compro Oro!

Jugando con la masa y el peso para ganar dinero

A todos nos enseñaron en la escuela (o al menos lo intentaron) que la masa no es lo mismo que el peso, aunque coloquialmente nos refiramos a ellas indistintamente en kilos o gramos. La masa de un cuerpo es una característica propia de éste, mientras que el peso depende, además de la masa, de la gravedad del lugar donde se esté pesando.

Pues ahora te propongo un negocio:

Como sabrás, una misma masa va pesando más con la latitud a medida que avanzamos por un meridiano desde el ecuador hacia el polo. Esto se debe a que la gravedad, que afecta al peso, aumenta realmente debido al achatamiento polar de la Tierra y, aparentemente, a la fuerza centrífuga debida a la rotación terrestre.

El negocio es el siguiente: Yo compro oro al precio de mercado pesándolo físicamente en algún país del ecuador, y tú vendes exactamente esa misma cantidad de oro al mismo precio, también pesándolo,  pero ahora en un lugar de algún país próximo al polo Norte. No hace falta que nos reunamos ni que te lo mande, podemos tener allí oro de reserva. Como la misma cantidad de oro pesa más en el polo que en el ecuador, tendremos por cada kilo unos gramos de oro de margen a nuestro favor, por los que nos van a pagar sin que nos hayan costado nada. Las operaciones de compraventa, pesado e ingresos en cuenta, se pueden hacer simultáneamente. He hecho cálculos y cada kilogramo exacto de oro da una diferencia de peso correspondiente a 5,3 g. Suponiendo la cotización actual del oro de unos 50 €/g, resulta una ganancia de 265 € por cada kilo de oro comprado y vendido ¡Y casi sin movernos! ¿Qué te parece?

El 0,53% de diferencia en la gravedad polar y ecuatorial, debida al diferente radio y al efecto de la fuerza centrífuga de rotación, que es nula en el polo y máxima en el ecuador, haría que una balanza mostrase una sensible discrepancia al pesar una  misma masa en uno y otro lugar. Concretamente, 5,3 gramos por cada kilogramo.

Antes de avanzar más, siento desilusionarte. El planteamiento y los cálculos son correctos, pero el hecho de llevar a cabo esa operación lleva implícito un fraude que tal vez no hayas advertido y del que hablaremos más tarde. Podemos montar el negocio, sí, pero estaríamos cometiendo un delito. 

 

Un  buen problema para Física de Bachillerato

La propuesta del negocio anterior constituye la base  de un problema que proponía  todos los años a mis alumnos de Física, que resulta ideal para trabajar y relacionar de forma motivadora  muchos de los contenidos de Física de 2º de Bachillerato propios  del primer trimestre: masa, peso, fuerzas gravitatorias y gravedad terrestre, fuerzas de inercia, suma de fuerzas, cinemática y dinámica del movimiento circular y operaciones con cifras significativas.

El enunciado del problema, que puedes encontrar, resuelto y comentado en este enlace es el siguiente:

Problema: ¿Cuánto pesa un lingote de oro de un kilo?

Teniendo en cuenta los distintos valores absolutos de la gravedad terrestre en el ecuador y en los polos debidos a la diferencia en el radio terrestre, y  el efecto de la fuerza centrífuga de la rotación de la Tierra, compara el peso aparente de un lingote de 1 000,0 gramos de oro según se sitúe en uno u otro lugar. (Datos respectivos de R y g polar y ecuatorial:  6357 y 6378 km ;  9,832 y 9,814 m/s². ¿Hay negocio a la vista?

Pero antes de tratar de resolverlo o de analizar más a fondo qué es lo que hay detrás del negocio del oro que se proponía al principio es preciso comprender bien los conceptos que encierra la operación de “pesar un objeto”: La masa, el peso, el peso aparente, sus unidades y el fundamento de las balanzas.

 

Masa, peso, peso aparente

Estos conceptos suelen confundirse a menudo cuando nos referimos a lo que pesa un cuerpo, aun sabiendo que masa y peso son magnitudes diferentes. La razón de esta confusión supongo que tiene que ver con la forma en que estas magnitudes son medidas en la práctica. Cuando se quiere averiguar la masa de un cuerpo lo más normal es “pesarlo”, o sea, colocarlo sobre una balanza o un dispositivo similar y observar lo que marca. pero ¿qué es lo que marca en realidad una balanza? ¿Seguro que es su masa? ¿Tal vez sea su peso? ¿Están actuando otras fuerzas que interfieren con su peso real?

• Masa

Clásicamente, la masa de un cuerpo es una magnitud propia de éste que mide su inercia o resistencia a ser acelerado y,  a su vez, lo que hace que sea atraído con más o menos fuerza al estar en un campo gravitatorio. La masa de un cuerpo es mayor cuanta más materia tenga. Aunque sea incorrecto definir la masa como cantidad de materia, decir su masa es la manera más intuitiva de indicar de cuánta materia está hecho un cuerpo.

La masa es una magnitud fundamental en el S.I. y su unidad internacional es el kilogramo (símbolo kg). Otras unidades frecuentes, además de los submúltiplos del kg (mg, g) son por ejemplo la libra (lb) y la onza (oz) del sistema imperial británico, la tonelada (ton), o el megaelectronvoltio de masa (MeVc^-2), muy empleado con las partículas subatómicas .

• Peso

El peso de un cuerpo no es otra cosa que la fuerza con la que éste es atraído por la gravedad. Normalmente en la superficie de la Tierra, pero también en otras condiciones gravitatorias, como a otra altitud o en la superficie de otro astro. En sentido estricto, el peso se refiere solamente a la fuerza del campo gravitatorio de la Tierra y excluye el efecto de la rotación terrestre o cualquier otra fuerza de inercia adicional, aunque a veces se incluyan en la práctica.

Como fuerza que es, el peso (p) de un cuerpo está relacionado con la masa (m) de éste según la ecuación:  F = m . a , en este caso  p = m . g , donde g es la aceleración a de la gravedad o la intensidad del campo gravitatorio del lugar en donde se encuentre “pesando” ese cuerpo. En la superficie terrestre, donde pesamos habitualmente las cosas, g varía ligeramente con el lugar y vale aproximadamente  9,8 m/s² (9,8 N/kg)

La magnitud del peso es fuerza, y su unidad en el S.I. es el newton (símbolo N) y todas las demás unidades de fuerza valen también para referir pesos: el kilogramo-fuerza ó kilopondio (kgf, kp), la dina (din), la libra-fuerza (lbf) o la tonelada-fuerza (tnf).

Así pues, la masa y el peso de un cuerpo no son lo mismo. Son magnitudes totalmente distintas. Mientras que la masa es una característica propia relacionada con la cantidad materia que forma el cuerpo, el peso es la fuerza gravitatoria que sufre éste por el hecho de tener cierta masa y encontrarse en un lugar donde haya mayor o menor gravedad, ya sea en la Tierra o en cualquiera que sea el lugar del cosmos en el que lo pesemos. A diferencia de la masa que es única y escalar, el peso es vectorial, tiene dirección y sentido, y su valor depende de la gravedad del lugar.

Sólo en el caso de que estemos en un lugar en donde la gravedad valga exactamente g = 9,80665 m/s², valor estándar que se toma por convenio para la superficie terrestre, el valor de la masa expresado en kg coincide numéricamente con el valor del peso expresado en kgf ó kp. Podremos decir entonces que 1 kilogramo “pesa un kilo”,  o que el peso de un cuerpo en “kilos” (kp) son los kg que tiene su masa. Por eso, el “kilo” (ya sea kg de la masa ó kp del peso) se emplea en lenguaje coloquial para referirnos indistintamente a la masa o al peso, porque estamos dando por supuesto que las cosas las pesamos normalmente y de forma aproximada en la superficie de la Tierra; pero tendremos que ir con más cuidado cuando no se cumpla alguna de estas premisas.

Y lo mismo podemos decir si en vez de kilogramos hablamos de gramos, de libras o de toneladas.

• Peso aparente

El peso del que hablamos en el epígrafe anterior es el peso real de un cuerpo, producto de su masa por la gravedad del lugar, pero en ocasiones,  cuando vamos a medirlo con una balanza, ésta parece indicar en algunos casos que pesa más y en otros menos que su peso real. Hablamos de que muestra un peso aparente. Esto es debido a que pueden existir otras fuerzas, ya sean reales o de inercia que a veces pasan inadvertidas y que se suman vectorialmente al peso interfiriendo en su medida.

Es el caso del peso a la baja que marca una balanza para un cuerpo cuando lo pesamos sumergido en agua (peso aparente) comparado con lo que pesa al aire (peso real). En este caso el peso aparente es el peso menos la fuerza de empuje del fluido. O el caso del aumento de peso que registra una báscula bajo nuestros pies dentro de un ascensor en el momento de arrancar a subir (peso aparente) con respecto al reposo (peso real). En este segundo caso, el peso aparente durante la arrancada es el peso real más la fuerza de inercia (nuestra masa por la aceleración del arranque).

En estos casos, los conceptos de  masa, peso, peso aparente o incluso masa aparente podrían confundirnos si no comprendemos bien la diferencia que hay entre ellos y qué es lo que está mostrando realmente la lectura de la balanza que empleamos para pesar. Tal vez sea ahora el momento de aclarar todo esto con un ejemplo.

 

Ejemplo ¿Cuánto pesa un balón de playa?

Supongamos que tengo en casa un balón de playa  de unos 30 cm de diámetro hinchado de aire y lo peso sobre una balanza. Se sabe que su masa es exactamente de 150 g (0,150 kg), 134 del propio balón más 16 g del aire encerrado. Su peso es también de unos 0,150 kilos, pero la balanza marca sólo 0,136 kg. En otra ocasión, ese mismo balón es pesado en la Estación Espacial Orbital (ISS) que orbita a 400 km de altura. El balón allí sigue teniendo la misma masa, 0,150 kg, pero su peso ha bajado a 0,137 kilos, mientras que la balanza sobre la que se coloca marca 0,000 kg. Aparentemente ¡no pesa nada! 

¿Cómo se entiende todo este lío? ¿Qué respondo si me preguntan cuánto pesa el balón?

Analicemos estos datos que se suponen ciertos:

a)      Balón en casa.

• Masa: Sabemos que su masa es 150 gramos.   m = 0,150 kg.  Esto es una característica del balón que no cambiará en ninguna circunstancia ni lugar (siempre que no cambie el balón ni el aire contenido)

• Peso: Como está en la superficie de la Tierra, la gravedad (g) en casa va a ser aproximadamente 9,81 m/s²,  por lo que el peso ( p = m . g ) será: 
  

 p = 0,150 kg . 9,81 m/s² = 1,47 N 

 que son, como era de esperar  0,150 “kilos”  ( 1,47N. 1 kp/9,81 N = 0,150 kp )

• Peso aparente: La baja densidad del balón hinchado hace que el empuje del aire exterior hacia arriba (0,14 N en este caso) sea apreciable con respecto al peso del balón hacia abajo. El peso aparente será:

 p_a = p – E = 1,47 N – 0,14 N = 1,33 N = 1,33 N / 9,81 kp/N = 0,136 kp

La balanza así “es engañada” y en vez de marcar 0,150 kg, que es la masa que originaría su peso (real) en ese lugar , marca la masa (aparente) que originaría ese peso aparente, por lo que mostrará sólo 0,136 kg

b)      Balón en la ISS en órbita.

• Masa:  m= 0,150 kg, no cambia, el balón es el mismo

• Peso: La órbita de la ISS está a 400 km de altura, donde la gravedad ( g = 8,96 m/s²)  es sensiblemente menor que en la superficie terrestre (g = 9,81 m/s²). 

El peso (m.g) será menor: 

p = 0,150 kg . 8,96 m/s² = 1,34 N = 1,34 N / 9,81 kp/N = 0,137 kp  ( 0,137 “kilos” )

• Peso aparente: Desde el punto de vista de la balanza, en orbita con la ISS alrededor de la Tierra con el balón reposando encima, y moviéndose con la aceleración centrípeta propia de una órbita circular; al peso del balón dirigido hacia el centro de la Tierra (1,34 N) se opone una fuerza de inercia centrífuga exactamente igual y opuesta al peso, por lo que el peso aparente, que detecta la balanza es nulo:  

P_a = 1,34 N - 1,34 N = 0 N = 0 kp . La balanza muestra  "0,000 kg"

Conviene aclarar que tanto los newton como los kilopondios o kilogramos-fuerza (kilos de peso, hablando coloquialmente), son dos unidades distintas  de una misma magnitud (fuerza), por lo que su factor de conversión (por convenio 9,80665 N/kp) es un valor invariable, independientemente del valor de la gravedad del lugar. Redondeando, 1 kp son 9,81 N aquí, en la Luna y en un agujero negro.

 

Pero entonces ¿qué es lo que mide realmente una balanza?

Una vez aclarada la diferencia entre masa, peso y peso aparente, volvamos a la cuestión inicial de qué es lo que mide en realidad una balanza cuando pesamos un cuerpo con ella. Lo primero a tener en cuenta es  que lo que marca depende de cómo esté diseñada.

Las balanzas de platillos o las de brazo comparan el peso aparente del cuerpo que se pesa con el de las pesas que lo equilibran. Si el empuje del aire no es sensiblemente distinto ( no existen diferencias muy notables entre el volumen del cuerpo y el de las pesas) y, dado que la gravedad aparente (gravedad absoluta más posibles fuerzas de inercia) es la misma pues cuerpo y pesas están en el mismo lugar y condiciones, entonces estamos comparando directamente la masa del cuerpo con la de las pesas. La balanza da la masa real del cuerpo, en las unidades que se muestran en las pesas o en la escala del brazo.

A diferencia de las anteriores, las balanzas de muelle vertical, basadas en la deformación elástica de un resorte, o las de un solo plato, ya sean de resorte o piezoeléctricas; miden directamente la fuerza perpendicular que se aplica sobre ellas, sea ésta un peso real o no. Pero como presentan la escala de lectura en unidades de masa, si queremos saber la masa que tiene realmente el cuerpo que pesamos, debemos interpretar el resultado.  Sin ánimo de liarla más, diremos que, en rigor, los gramos o kilogramos que marca la balanza  (si previamente ha sido bien calibrada en el lugar de uso con pesas patrón) son la masa que tendría un objeto cuyo peso en ese lugar fuese igual a la fuerza perpendicular que se esté haciendo contra el platillo. Si esa fuerza es debida solamente al peso del cuerpo que se está pesando, en reposo, y sin otras fuerzas reales o de inercia que le afecten de forma apreciable, sólo entonces su masa es justo lo que marca. En caso contrario habrá que entender que se trata de una masa aparente, relacionada con el peso aparente del cuerpo, y habrá que identificar qué otras fuerzas interfieren con el peso para averiguar su masa real. 

Arriba: balanzas que miden directamente la masa. 

 

Abajo: balanzas que se basan en  medir la fuerza aplicada.

Y para terminar, volvamos al negocio del oro

La idea central es que al pesar sucesivamente un lingote de oro de 1kg de masa en el ecuador y en el polo, el 5,3% de diferencia en las aceleraciones de la gravedad (g) se traduce en una diferencia de peso similar, que en este caso resulta ser de 0,0053 kp.

Lo primero que habría que tener en cuenta es que, para hacer negocio, la balanza que usemos no puede ser de las de pesas, pues éstas comparan directamente la masa del oro que pesamos con la masa de las pesas utilizadas, y como la diferencia de gravedad les afecta por igual, el lingote se equilibraría con las mismas pesas en ambos lugares.

Tendríamos que usar una balanza que responda a fuerzas o pesos, como las de un plato, o las de muelle. En éstas sí se notaría diferente peso para una misma masa.

Para una operación comercial de este tipo, la balanza utilizada tiene que cumplir dos requisitos ineludibles. El primero, que sea suficientemente sensible, pues 0,01 g de oro ya valen 0,50 €. El segundo, que sea suficientemente exacta, y para ello debe estar bien calibrada, es decir, que lo que marque sea lo correcto. Y aquí viene el problema. Las balanzas vienen graduadas en unidades de masa (g, kg, u otras), y ¿cómo se asegura su correcta calibración? … ¡Exacto, con pesas! Y ya estamos en lo de antes, una pesa de 1kg deberá marcar 1 kg exacto. El ajuste de la balanza en el polo y el ecuador tendría que ser distinto para que marcase lo mismo al pesar una misma masa.

Claro que siempre se puede calibrar la balanza en el ecuador y después enviarla al polo sin tocar nada, pero  como el precio del oro se basa en su masa y no en lo que pese ésta, siempre estaríamos incurriendo en una estafa. Si al principio alguien se ha interesado por este negocio, que sepa que no es oro todo lo que reluce. 

 

 

¿Qué pesa más, un kilo de hierro o un kilo de paja?

¿Quién no ha oído alguna vez esta vieja pregunta para vacilar a la gente? La respuesta comúnmente aceptada es que cuando el interlocutor diga que pesa más el kilo de hierro porque es más pesado que la paja, bien porque se le ha pillado por sorpresa o bien porque tenga pocas luces, entonces se le corrija jocosamente diciendo que un kilo de cualquier cosa pesa eso, un kilo. Es decir, que los dos pesan lo mismo. Pero si me lo preguntaran a mí respondería que … ¡depende!. Y sí, sí que soy gallego. Y no, no pretendo tomarle el pelo a nadie.

 

Para responder a esta pregunta desde el punto de vista de la física y de una forma rigurosa, hay que aclarar antes una cuestión semántica. Es preciso definir a qué nos estamos refiriendo al utilizar  los términos “pesar” y “kilo”.

Cuando nos preguntamos “cuánto pesa” un objeto, ¿nos referimos a la lectura que indica la balanza?, ¿a su masa?, ¿a la fuerza de gravedad con que lo atrae la Tierra?, ¿a lo que pesaría en el vacío? o tal vez a lo que resulta de pesarlo inmerso en el aire que lo rodea, que es un fluido que ejerce cierto empuje.

Pero es que si además nos referimos a “un kilo”, ¿queremos decir con eso que tiene una masa de un kilogramo?, ¿que marca “1 kg” en una balanza si lo ponemos sobre ella?, ¿que su peso es 1 kilo-fuerza o kilopondio? … ¡vaya lío!, ¿no?

Al final, la respuesta correcta a la cuestión puede ser cualquiera de las tres posibilidades y dependerá de cuál sea el caso. Hasta es posible que acertemos afirmando que pesa más el kilo de paja. Pero esto, claro está, hay que argumentarlo. Veamos a continuación cuáles son las posibles opciones. 

 

1. Si se entiende por “pesar” obtener el valor del peso, que es la fuerza de gravedad con que la Tierra atrae al objeto pesado. Se abren entonces dos posibilidades:

1.1. Que con “un kilo” queramos decir que la masa del cuerpo es un kilogramo (1 kg).

• Respuesta correcta: los dos pesan igual ( P = m.g = 1 kg. 9,8 N/kg = 9,8 N = 1 kp). Es la respuesta estándar.
  

1.2. Que al decir “un kilo” nos estemos refiriendo a que la balanza sobre la que ponemos el objeto marca 1 kg. Esto implica que hace una fuerza de 1kp contra el platillo de la balanza.

En este caso, la balanza detecta el peso aparente, que es el peso real menos el empuje que hace el aire hacia arriba  (Pa = P - E). Entonces el peso real es algo mayor de 1 kp. Como el volumen del kilo de paja es mucho más grande que el del kilo de hierro, el empuje que sufre también lo será (ver figura). Para marcar lo mismo al pesarlos, el “kilo” de paja tiene que tener un peso real mayor.

• Respuesta correcta: ¡Pesa más el kilo de paja!, el peso de unos 11 gramos más, aunque parezca increíble.

 

2. Si se entiende por “pesar” obtener el valor que marca la balanza al ponerle el objeto encima.  Así aparecen dos opciones más:

 2.1. Que con “un kilo” nos estemos refiriendo a que la masa del cuerpo es de 1 kg.

Entonces la balanza, que marca el peso real menos el empuje del aire, marcará menos para el  kilo de paja

• Respuesta correcta: Pesa más el kilo de hierro (la paja tiene unos 11 g menos).  Hay que darle la razón al tonto aunque no sepa por qué.
  

 2.2. Que con “un kilo” nos estemos refiriendo a que la balanza sobre la que ponemos el objeto marca 1 kg.

En este caso, la balanza marca lo mismo para ambos (marca 1 kg, los dos le hacen a la balanza una fuerza de 1 kp).

• Respuesta correcta: Los dos pesan igual, la respuesta estándar

 

En el libro “Física Recreativa”, de Yakov Perelman, un clásico, ya aparecía una reflexión sobre esta pregunta, pero en este caso sólo contemplaba la opción 1.2 de las que aquí se comentan.

Espero que no se le ocurra a nadie vacilar más con esta pregunta, porque si da con un friki de la física, éste podría vacilarle bastante más.

 

 

La paradoja de los gemelos también es relativa

 

Pues sí, como es fácil de adivinar, este artículo trata de la teoría de la relatividad.

El desarrollo de esta teoría suele dar lugar a conclusiones sorprendentes que desafían abiertamente a la idea del espacio y del tiempo que tenemos comúnmente arraigada en nuestra mente. Una de las más conocidas es la famosa “paradoja de los gemelos”

Se dice que esta paradoja fue planteada por primera vez por  P. Langevin a A. Einstein, poco después de que éste publicara  la Teoría de la Relatividad Especial en 1905, alertando de de su posible incongruencia, pues llegaba a predecir situaciones absurdas o contradictorias.

Realmente,  la teoría de la relatividad no sólo no contradice a los hechos observables sino que supera a la mecánica clásica tanto en la justificación como en la predicción de los mismos. Como vamos a ver, la paradoja tiene solución, aunque el propio Einstein no la resolvería definitivamente hasta formular la Teoría de la Relatividad General unos 10 años después.

Aunque la analizaremos después más a fondo, la paradoja de los gemelos surge de un experimento mental que consiste básicamente en lo siguiente:

Un joven astronauta parte de la Tierra para hacer un largo viaje de ida y vuelta a un astro muy lejano en una nave que alcanza una velocidad constante muy próxima a la velocidad de la luz. Su hermano gemelo se queda en la Tierra esperando el día de su regreso, que se producirá dentro de algunos años.

Según las leyes relativistas, un observador que midiera la longitud y el tiempo transcurrido entre dos sucesos que tuviesen lugar en un cuerpo moviéndose con cierta velocidad con respecto a él, obtendría resultados distintos a los que mediría si los viese en reposo. Concretamente, la longitud se contrae y el tiempo se dilata. Este efecto es tanto más notable cuanto más se aproxime a la velocidad de la luz la velocidad del cuerpo con respecto al observador.

Según esto, el gemelo en la Tierra observaría que el tiempo real transcurre más despacio a bordo de la nave que el suyo propio. Como resultado de ello, al producirse el reencuentro tras el largo viaje, el gemelo de la Tierra, envejecido con el paso de los años, contemplaría cómo su hermano viajero, que asegura haber pasado muchos menos años de viaje, es mucho más joven que él.

Pero por extraño que parezca, la cosa no termina aquí. La auténtica paradoja surge si ahora planteamos el viaje desde el punto de vista del gemelo que va en la nave:

De acuerdo con su marco de referencia es La Tierra con su hermano esperando en ella la que se mueve con respecto a la nave con la velocidad citada. Así que el gemelo astronauta, para quien el tiempo pasa con total normalidad, observaría cómo en la Tierra el tiempo pasa más despacio. Cuando al fin del viaje se encuentre con su hermano en la Tierra, ¡el astronauta confirmaría que su gemelo es bastante más joven que él!

Entonces ¿envejece más el gemelo que espera o el gemelo que viaja? La aplicación, aparentemente correcta, de la teoría de la relatividad especial llega al absurdo de dar dos respuestas contradictorias para un único fenómeno real. Ésta es la verdadera paradoja.

 

El 27 de marzo de 2015 La NASA realizó un experimento en el que participaron los dos hermanos gemelos de la foto. El astronauta Scott Kelly pasó exactamente un año en órbita a bordo de la Estación Espacial Orbital mientras su hermano Mark permanecía en La Tierra haciendo su vida normal. El objetivo era comparar las consecuencias genéticas, físicas y cognitivas de una larga estancia en el espacio. Aunque algunos han querido ver en esta misión un guiño a la famosa paradoja de los gemelos, lo cierto es que la velocidad de la ISS con respecto a la Tierra está muy lejos de ser suficiente como para poder detectar diferencia alguna en la edad final de los dos hermanos. (foto NASA)

 

 El espacio y el tiempo según la Teoría de la Relatividad Especial

Antes de analizar más detenidamente el problema de los gemelos sería conveniente recordar, aunque sea muy resumidamente, en qué se basa la teoría de la relatividad y qué consecuencias tiene en la medida del espacio y del tiempo.

Con el fin de explicar ciertos hechos experimentales relacionados con la propagación de la luz y otros fenómenos electromagnéticos al ser observados desde distintos marcos de referencia, A. Einstein formula en 1905 la Teoría de la Relatividad Especial o Restringida como una nueva teoría del movimiento deducida a partir de dos postulados que asumen sendas evidencias experimentales, y que se aplica exclusivamente a observadores en sistemas de referencia sin ningún tipo de aceleración (sistemas de referencia inerciales). Estos postulados son:

1-    No hay ninguna cualidad que permita distinguir si un sistema de referencia está en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. En consecuencia, las leyes de la física tienen que ser las mismas independientemente del sistema de referencia inercial que las formule.

2-    La velocidad de la luz en el vacío (c) es invariante, independientemente de la velocidad y dirección del observador inercial que la mida.

Como consecuencia de ellos, se deducen varias leyes que, a pesar de contradecir aparentemente el sentido común, resultan ser más coherentes con los hechos experimentales que la mecánica clásica. Estas consecuencias afectan a la noción que hasta entonces se tenía de conceptos y magnitudes como el espacio, el tiempo, la simultaneidad de sucesos, la velocidad, la masa, el momento lineal o la energía; los relativiza haciéndolos dependientes unos de otros y del observador que los describe, superando a la mecánica clásica, con la que coincide cuando la velocidades de los observadores son despreciables frente a la velocidad de la luz en el vacío c = 3,0.10⁸ ms^-1 . Para velocidades próximas a c será imprescindible un planteamiento relativista del problema.

Dos de las consecuencias que nos interesa destacar aquí son la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo.

Se entiende por longitud propia (L₀) de un objeto la que mide para él un observador (S) que lo vea en reposo. Así mismo se denomina tiempo propio (Δt₀) entre dos sucesos al intervalo de tiempo transcurrido medido por un observador que los vea suceder en el mismo punto, es decir, sin velocidad.

Otro observador (S’) que mida longitudes y tiempos para objetos y sucesos que lleven velocidad relativa v con respecto a él medirá para ellos otros valores (L y Δt) que podemos llamar impropios o relativistas:  L es menor que la longitud propia y Δt mayor que el tiempo propio. Apreciaría una contracción longitudinal en la dirección de v y una dilatación temporal. Resumiendo, los objetos son más cortos y los sucesos transcurren más despacio si se ven en movimiento que si se observan en reposo.

La discrepancia entre los valores propios y relativistas de longitudes y tiempos vienen determinados por un factor g según las expresiones que se muestran a continuación. Como se puede apreciar en ellas,  los efectos relativistas de contracción del espacio y dilatación del tiempo sólo son significativos cuando la velocidad v es comparable a la velocidad de la luz, haciendo así que el factor γ  sea claramente mayor que 1.

 

L = L₀ / γ           Δt = Δt₀ . γ         

γ = 1 / √ (1- v²/c²)

Hay que insistir en que los postulados de la relatividad especial y sus conclusiones sólo son válidos para observadores inerciales, es decir no sometidos a fuerzas netas y cuyo movimiento relativo es en línea recta a velocidad constante. Y recordar que los efectos relativistas, en los que ya no es aplicable la mecánica clásica newtoniana, sólo son apreciables cuando la velocidad se acerca al valor límite de la velocidad de la luz.

Como se puede ver, frente al dicho popular según el cual la teoría de la relatividad dice que “todo es relativo”, lo cierto es que la teoría se basa en dos entes invariantes y absolutos: la formulación de las leyes de la mecánica y la velocidad de la luz. Esto es precisamente lo que hace relativa e interdependiente la propia naturaleza del espacio y del tiempo, entrando en conflicto con la idea “de sentido común” de un espacio y un tiempo absolutos e independientes. Pero no pasa nada, tengamos en cuenta que el sentido común ha sido moldeado inconscientemente por la evolución biológica y cultural  de nuestra forma de pensar a lo largo de la historia y nunca ha tenido en cuenta velocidades comparables a la de la luz, distancias cósmicas o diferencias de tiempo infinitesimales. En algunos casos está bien dejarnos guiar por él para asuntos de “andar por casa”, pero ya no sirve para sincronizar relojes atómicos, medir distancias interestelares o investigar partículas subatómicas en movimiento. 

La paradoja de los gemelos es una consecuencia de la discrepancia en la duración temporal de un suceso (el viaje) que surge al aplicar la Teoría de la Relatividad Especial, vista desde dos sistemas de referencia distintos (el viajero y el que espera en Tierra) 

 

Volvamos pues con la paradoja de los gemelos

Supongamos dos hermanos gemelos, Ulises y Penélope. Cuando ambos cumplen 30 años, Ulises se embarca en  un largo viaje de ida y vuelta  hasta la estrella Ítaca que se encuentra a una distancia de 24,5 años-luz de la Tierra, mientras que Penélope se queda en la Tierra esperando su regreso. La nave en la que viaja Ulises hace su larga travesía a la enorme velocidad  de 0,98 c, es decir, al 98 % de la velocidad de la luz. La pregunta es: ¿cuánto habrá durado el viaje y qué edad tendrán los dos gemelos cuando vuelvan a encontrarse?

La proximidad a la velocidad de la luz, nos obliga a hacer el cálculo empleando la teoría de la relatividad, según la cual los espacios y tiempos propios vienen afectados por un factor γ = 1 / √ (1- v²/c²) en función del observador que los mida. Para este caso concreto, v = 0,98 c ,  γ = 5,0 

 

Nivel  Inicio. La paradoja de los gemelos tal como algunos la suelen contar.

Consideremos la duración del viaje como el intervalo de tiempo transcurrido entre dos sucesos que son la partida y la llegada que tienen lugar en el mismo punto para ambos hermanos, y que puede ser medido por un reloj en Tierra y otro a bordo de la nave.

Para Penélope, que se ha quedado en la Tierra, el tiempo que han marcado su relojes tanto mecánicos como biológicos (su tiempo propio) para la duración del viaje es lo que ha tardado la nave en recorrer una distancia d de 49 años-luz (24,5 de ida y 24,5 de vuelta) con velocidad v = 0,89 c,  es decir: Δt = d / v =  49 c / 0,98 c  = 50 años

Mientras tanto, Penélope ve que Ulises se desplaza con una velocidad v con respecto a ella, y razona acertadamente que los relojes mecánicos o biológicos que viajan con Ulises, que marcan el tiempo propio de éste Δt₀ , y por tanto el transcurso de su vida, atrasan o se ralentizan con respecto a los de la Tierra, que marcarán un tiempo Δt mayor (el tiempo propio de Penélope), según la expresión relativista: Δt = Δt₀ .γ  ,  En este caso Δt₀ = 50 /5,0 = 10 años, que es el tiempo que para Ulises ha durado el viaje.

En resumen, que cuando se produce el reencuentro en la Tierra, Penélope que ha pasado 50 años de su vida esperando, tendrá 80 años de edad, mientras que su hermano gemelo Ulises, que asegura haber estado 10 años de viaje, tendrá sólo 40 años de edad ¡sería 40 años más joven que su gemela!. Paradójico ¿no?

Es preciso señalar que no es que Ulises haya pasado ese tiempo sumido en una especie de aletargamiento o viviendo como en una película a cámara lenta al estilo de Matrix. De hecho, si eligiésemos a Ulises como marco de referencia, veríamos que el mecanismo de su reloj y su vida a bordo transcurren a ritmo normal, con su tiempo propio.

Vale, hasta aquí la famosa paradoja de los gemelos tal como se suele contar por ahí adelante, incluyendo algunos libros de texto de física. Esto en realidad no es una paradoja y no supone ningún problema. Al fin y al cabo estas discrepancias en el transcurso del tiempo se pueden observar todos los días en los laboratorios de física de partículas con otros “gemelos” no humanos, como las partículas subatómicas, cuyo tiempo de vida media resulta ser significativamente mayor en movimiento que en reposo, y es utilizado normalmente en la sincronización de los relojes idénticos de los satélites de GPS y de la Tierra para ajustar correctamente nuestra ubicación. En cualquiera de los casos, se emplean las ecuaciones de la relatividad especial descritas, y los distintos tiempos obtenidos por cada observador  para un mismo par de sucesos son exactamente iguales a lo que predice la teoría.

 

Nivel Pro. La verdadera paradoja de los gemelos.

Pero el problema de verdad surge si ahora planteamos el viaje desde el punto de vista de Ulises en su nave.  Esto parece perfectamente lícito ya que, al igual que su hermana, es un observador inercial y según la teoría, las mismas leyes físicas se cumplen indistintamente desde uno u otro sistema.

Ulises se vería a sí mismo en reposo y observaría a la Tierra, a su hermana y al entorno cósmico moverse a la misma y tremenda velocidad constante de 0,98 c. Esto no tiene que parecernos extraño, en realidad todo se mueve de una manera u otra dependiendo del sistema de referencia que lo observe. Sólo que la distancia recorrida ya no sería la longitud propia L₀ = 49 años-luz establecida desde la Tierra, sino que estaría contraída según la ley relativista  L= L₀ / γ ,  en un factor γ = 5,0 hasta ser L = 9,8 años-luz para Ulises. Y esto le lleva tan sólo un tiempo de 10 años, que es justo lo que había previsto Penélope para su hermano mientras ella esperaba durante 50 años de su vida. Hasta aquí todo bien.

Pues ahora viene lo bueno. Ulises aplica  Δt = Δt₀ .γ   para hallar el tiempo que ha pasado para Penélope durante sus 10 años de viaje. El tiempo vivido por Penélope es ahora el tiempo propio Δt₀, pues para ella no se ha movido del sitio, mientras que los 10 años de viaje contados por Ulises son el tiempo relativista Δt, pues ve cómo Penélope se ha movido con velocidad.

Si para Ulises el viaje ha durado Δt = 10 años, para Penélope han sido Δt₀ = Δt / γ = 10 / 5,0 = 2 años. Al final del viaje, Ulises tendrá 40 años y Penélope 32.

 Desde el punto de vista de Ulises, el tiempo pasa más despacio para Penélope y en consecuencia, cuando se reencuentren ¡Penélope será más joven que él!. Es la conclusión opuesta al razonamiento planteado desde la referencia de Penélope.

He aquí la auténtica paradoja de los gemelos. Una situación absurda que parece no tener solución.

Y ahora ¡cuidado!. Algunos libros de texto atajan erróneamente diciendo que si, según Penélope, ella cumple 80 años cuando se encuentra a Ulises cuando éste  cumple 40; entonces, igualmente a Ulises le sale que cumple 80 mientras su hermana cumple 40. El cálculo no es correcto, como acabamos de ver.

 

Nivel Premium. La paradoja tiene solución, así que no hay paradoja.

Entonces ¿cuál de los dos gemelos tiene la razón? ¿quién es finalmente el más joven, y cuánto más?. ¿Hay alguna salida para desmontar esta paradoja?. La respuesta es afirmativa y se encuentra en la propia teoría de la relatividad.  Todo parte de  una suposición incorrecta que habíamos pasado por alto, y es que los sistemas de referencia de cada hermano en realidad no pueden ser equivalentes, ya  que es imposible que  se produzca el reencuentro si el gemelo viajero no acelera al salir, da la vuelta en algún momento y frena al llegar, es decir, que sufra aceleraciones. La premisa de que los dos hermanos son sistemas de referencia inerciales y simétricos en el espacio y el tiempo ya no es válida pues el viajero no es inercial en algunos momentos del viaje.

Tanto la teoría como la experimentación coinciden al demostrar que el tiempo se habrá dilatado para el que viaja, con lo que cuando se encuentren otra vez el más joven va a ser Ulises, y la diferencia de edad es la que corresponde al cálculo realizado desde el sistema de referencia inercial de la Tierra. Veamos, esta vez sin cuentas, cómo se puede llegar a esta conclusión que va a suponer la solución de la paradoja.

La teoría de la relatividad general, propuesta por el mismo Einstein 10 años después para extender la relatividad a todo tipo de sistemas de referencia, tanto inerciales como acelerados,  predice que un observador inercial detectará una dilatación del tiempo entre dos sucesos que tengan lugar en un sistema de referencia acelerado o sometido a un campo gravitatorio (dos situaciones equivalentes y físicamente indistinguibles). A pesar de la diferencia de gravedad con la Tierra, las aceleraciones a las que tendría que someterse Ulises para conseguir alcanzar y perder después su altísima velocidad, explicarían según la relatividad general que sea el tiempo propio de Ulises el que haya pasado más lentamente que el de Penélope. Esta idea desmonta la validez del argumento que había empleado el gemelo viajero, deshaciendo así la paradoja.

 

Pero a la misma conclusión se puede llegar sin abandonar el marco de la teoría de la relatividad restringida.

Los dos observadores, aunque supuestamente inerciales, no son simétricos. Penélope está en lo cierto en todo momento pues su sistema de referencia no cambia en ningún momento. Pero Ulises, aun admitiendo que cambie instantáneamente el sentido de su movimiento, invierte en ese instante su sistema de referencia, rompiendo la simetría que hasta ahora mantenía con el otro planteamiento. El cálculo demuestra que asumir ese cambio de referencia  supone que el tiempo observado para Penélope, que según él pasaba más despacio, habría aumentado 48 años de golpe, que sumados a los 2 de ida de vuelta harían los 50 de Penélope, frente a los 10 de Ulises.   

En cualquier caso, para el gemelo que viaja, el tiempo se dilata según el factor g previsto por el que se queda. Como resultado, cuando se produzca realmente el reencuentro de los gemelos, Ulises tendrá 40 años y Penélope 80. El tiempo de Ulises habrá transcurrido γ = 5 veces más lento que el de Penélope. El resultado es único y por lo tanto no hay paradoja.

 

Pero, ¿y si el viajero no acelera ni cambia de sentido en ningún momento?

Por ejemplo, pasando a velocidad v constante y en línea recta al lado del que espera en reposo, o bien cruzándose ambos en movimiento rectilíneo y uniforme en sentidos opuestos con velocidad relativa v.

En este caso los dos sistemas de referencia son inerciales y totalmente equivalentes para las leyes de la relatividad especial. Cada uno ve como su tiempo propio transcurre con normalidad mientras concluye que es al otro al que le pasa más despacio. ¿Otra vez la paradoja? En realidad no. No es una situación paradójica porque, al no poder reencontrarse de nuevo, nunca podrán confrontar entre ellos  ni sus relojes ni el paso de sus vidas a no ser que alguno frene y se pare y vuelva a acelerar ( ya no sería inercial) o se intercambien señales periódicas para comparar sus relojes.  Dichas señales no serían instantáneas, pues como mucho viajarían a la velocidad de la luz, y recorrían una distancia en un tiempo. Estos espacios y tiempos también son interdependientes y relativos al observador, y están sometidos a los mismos efectos relativistas descritos antes. En todo momento los sucesos ocurridos en la situación de cada observador tienen lugar en puntos diferentes del espacio-tiempo y la noción intuitiva de simultaneidad deja de tener sentido.

En conclusión. No hay ninguna posibilidad real de encuentro ni de sincronización de la información del tiempo, así que el problema de los gemelos que se reencuentran no puede plantearse en la realidad. Si no hay problema, no hay paradoja.

 

Referencias y más información:

P. Tipler, G. Mosca. Física para la Ciencia y la Tecnología. REVERTÉ. VI ed. (2015)

H. Young, R. Freedmann. Sears. Zemansky - Física Universitaria con Física Moderna.Vol.2. PEARSON EDUCACIÓN. XII ed. (2009)

J. I. Illana. “Descubre la relatividad”. D. Física Teórica. Universidad de Granada. (2017)  https://www.ugr.es/~jillana/SR/sr.pdf

Javier Santaolalla. Date un Voltio. “La paradoja de los gemelos ¡resuelta!“ https://www.youtube.com/watch?v=lPEo0wDiU0c