¿Cuánto pesa la Tierra?

Siguiendo recientemente algunos hilos de un foro de divulgación científica de internet donde los participantes preguntaban y opinaban sobre el peso de la Tierra y la gravedad a su alrededor, he podido comprobar que existe bastante confusión acerca de esta cuestión entre las personas que, con su mejor voluntad, se interesan por él, así que trataré de explicar muy brevemente algunos de estos puntos para quien desee aclarar un poco las ideas. Por cierto, el título y la imagen de esta entrada son un poco tramposos.

Peso y la masa. No es lo mismo

El peso de un cuerpo es la fuerza de gravedad que sufre éste en un determinado lugar, normalmente en la Tierra. Los cuerpos pesan y pueden ser pesados debido a que tienen masa. La masa de un cuerpo es una propiedad suya característica que tiene que ver con la cantidad de materia que tiene. Para que un cuerpo “pese” tiene que tener masa (todos la tienen) y además estar en un sitio del espacio donde haya gravedad, (por ejemplo sobre la Tierra). El peso equivale al producto de su masa m por la intensidad o aceleración de la gravedad del lugar g :    

p = m . g

Por ejemplo, una piedra de 1 kg (un kilogramo) de masa, en la superficie de la Tierra pesa 9,8 N (newtons) o lo que es lo mismo 1 kp (1 “kilo de peso”), pero sólo pesará 1,63 N ó 0,17 “kilos de peso” si se pesa en la Luna, aunque su masa siga siendo de 1 kg.

Pese a ser dos magnitudes completamente distintas (una fuerza de gravedad y una  propiedad característica de la materia), habitualmente confundimos masa y peso porque damos por hecho de que estamos pesando los objetos en la superficie de la Tierra, donde 1 kg de masa es atraído por ésta con una fuerza de gravedad de unos 9,8 N , fuerza a la que llamamos 1 kp o más coloquialmente “1 kilo de peso”, de ahí que digamos que “un kilogramo pesa un kilo”. Pero cuidado, porque esto sólo es así en la superficie terrestre,  donde g = 9,8 N/kg) 

 

¿Es necesario pesar un cuerpo para saber su masa?

No, no es necesario. Si por “pesar” un cuerpo entendemos averiguar cuánta masa tiene, sólo es preciso someterlo a cualquier experimento cuyo resultado dependa de su masa. Por ejemplo, colgarlo de un muelle y ver cuánto se estira o con qué periodo oscila, acelerarlo con una fuerza conocida o, por supuesto, equilibrarlo en una balanza con pesas de masa conocida.

 

¿Pesan los cuerpos cuando están en el espacio o en el vacío?

Esta es una cuestión de la que muchos tienen una idea equivocada. La respuesta es que sí que tienen peso. El peso de un cuerpo de cierta masa, es decir, la fuerza con que lo atrae la Tierra a causa de la gravedad (o el astro en donde se encuentre si es que lo estuviésemos pesando allá) depende del valor de la gravedad g del lugar, y g depende de la masa M del planeta y del cuadrado de la distancia r a su centro, si estamos en su exterior:

 P = m.g        ( g= G.M / r²)

Por lo tanto, el peso de un cuerpo no tiene nada que ver con que haya aire o vacío, o con que esté en la atmósfera o en el espacio exterior. Sólo depende de que esté más o menos cerca de la superficie terrestre.

Por ejemplo, una piedra de 1 kg de masa pesará 9,8 N (1 kilo de peso) en la superficie de la Tierra. Si la alejamos hasta la órbita de la estación espacial orbital ISS, a unos 400 km de altura donde reina prácticamente el vacío, esa piedra de 1 kg pesaría un poco menos, concretamente 8,96 N (0,914 kilos) y si seguimos alejándonos hasta la órbita geoestacionaria, a unos 35.800 km de altura, casi 6 veces el radio terrestre, el peso de esa piedra de un kilogramo ya sólo sería de 0,225 N (0,023 kilos), pero no sería nulo.

 

Si los cuerpos que están por el espacio cerca de la Tierra tienen peso, entonces por qué los vemos flotando ingrávidos?

Pues simplemente porque están trazando su órbita circular, lo que equivale a estar cayendo en el campo gravitatorio de la Tierra, y tendemos a tomar como marco de referencia para observarlos la cápsula o estación espacial en la que están, que también está “cayendo” con la misma aceleración y describiendo la misma órbita. Desde su propio punto de vista, a su peso real, que es una dirigida hacia el centro de la de la Tierra, se opone una fuerza de inercia centrífuga igual y opuesta que hace que aparentemente experimente una “gravedad cero”, aunque su peso realmente siga actuando, y de hecho es la única fuerza real que le está obligando a caer o a curvar su trayectoria para seguir la órbita.

 

¿Es posible pesar la Tierra?

La pregunta no tiene sentido si es que por “pesar” entendemos medir la fuerza de gravedad con que la atrae la Tierra (es absurdo el concepto de que un cuerpo se atraiga a sí mismo). Lo que sí que se puede hacer es medir experimentalmente la masa de la Tierra, y esto sabemos cómo hacerlo desde el siglo XVII gracias a Newton.

 

¿Cuál es la masa de la Tierra y cómo se ha podido hallar?

El valor aceptado actualmente para la masa de la Tierra y que se ha podido obtener experimentalmente por medidas indirectas es de 5,9722. 10²⁴ kg (cerca de seis billones de billones de kilogramos).

En 1687, año en que Isaac Newton publicó los Principia donde formulaba el principio fundamental de la dinámica y la ley de gravitación universal, el gran físico inglés fue el artífice de dar con la forma de medir la masa de la Tierra. Bastaba con observar  el movimiento de cualquier cuerpo sometido a la gravedad terrestre, como la Luna en su órbita, un péndulo oscilando o un objeto en caída libre. El procedimiento consiste en medir experimentalmente la aceleración a con que se mueve cualquiera de esos objetos de masa m y relacionarla con la fuerza F que la produce. Según el principio fundamental de la dinámica: 

F = m . a

Newton se dio cuenta que esa fuerza no era otra que la fuerza de la gravedad que la Tierra ejercía sobre estos cuerpos, dada por la expresión que él mismo había descubierto:

F = G.M.m / r²

Al igualar las dos expresiones  queda para la aceleración del cuerpo: 

a = G.M /r²

La aceleración a no es otra cosa que la aceleración de la gravedad terrestre g en el sitio donde se mueve el cuerpo. r es la distancia al centro de la Tierra ( el radio de la órbita en el caso de la Luna y el radio de la Tierra en los casos del péndulo o la caída libre). G es la constante gravitatoria, constante universal que según Newton determinaría el valor de la fuerza gravitatoria entre cualquier par de masas en cualquier lugar, y M es la masa de la Tierra. Como r y a se pueden conocer experimentalmente, ya sólo queda despejar y hallar M, la masa de la Tierra.

Pero había un problema. Newton no pudo hallar la masa de la Tierra por la sencilla razón de que nunca tuvo la oportunidad de determinar el valor de la constante gravitatoria G que él mismo había propuesto y que tendría que ser medida experimentalmente.

Poco más de un siglo más tarde, en 1798, el físico inglés Lord Cavendish, realizó un sencillo pero preciso experimento que medía directamente la fuerza de atracción gravitatoria entre unas esferas muy pesadas, lo que le permitió ser el primero en hallar el valor de la constante gravitatoria G, obteniendo un valor prácticamente igual al que se conoce actualmente: G = 6,6743. 10^-11  Nm²kg^-2 . Una vez hallado G, pudo calcular inmediatamente el valor de la masa de la Tierra. De alguna manera podemos decir que Cavendish fue “el primer ser humano en pesar la Tierra”. Con las instrucciones de Newton.

 

¿Qué pesa más, un kilo de hierro o un kilo de paja?

¿Quién no ha oído alguna vez esta vieja pregunta para vacilar a la gente? La respuesta comúnmente aceptada es que cuando el interlocutor diga que pesa más el kilo de hierro porque es más pesado que la paja, bien porque se le ha pillado por sorpresa o bien porque tenga pocas luces, entonces se le corrija jocosamente diciendo que un kilo de cualquier cosa pesa eso, un kilo. Es decir, que los dos pesan lo mismo. Pero si me lo preguntaran a mí respondería que … ¡depende!. Y sí, sí que soy gallego. Y no, no pretendo tomarle el pelo a nadie.

 

Para responder a esta pregunta desde el punto de vista de la física y de una forma rigurosa, hay que aclarar antes una cuestión semántica. Es preciso definir a qué nos estamos refiriendo al utilizar  los términos “pesar” y “kilo”.

Cuando nos preguntamos “cuánto pesa” un objeto, ¿nos referimos a la lectura que indica la balanza?, ¿a su masa?, ¿a la fuerza de gravedad con que lo atrae la Tierra?, ¿a lo que pesaría en el vacío? o tal vez a lo que resulta de pesarlo inmerso en el aire que lo rodea, que es un fluido que ejerce cierto empuje.

Pero es que si además nos referimos a “un kilo”, ¿queremos decir con eso que tiene una masa de un kilogramo?, ¿que marca “1 kg” en una balanza si lo ponemos sobre ella?, ¿que su peso es 1 kilo-fuerza o kilopondio? … ¡vaya lío!, ¿no?

Al final, la respuesta correcta a la cuestión puede ser cualquiera de las tres posibilidades y dependerá de cuál sea el caso. Hasta es posible que acertemos afirmando que pesa más el kilo de paja. Pero esto, claro está, hay que argumentarlo. Veamos a continuación cuáles son las posibles opciones. 

 

1. Si se entiende por “pesar” obtener el valor del peso, que es la fuerza de gravedad con que la Tierra atrae al objeto pesado. Se abren entonces dos posibilidades:

1.1. Que con “un kilo” queramos decir que la masa del cuerpo es un kilogramo (1 kg).

• Respuesta correcta: los dos pesan igual ( P = m.g = 1 kg. 9,8 N/kg = 9,8 N = 1 kp). Es la respuesta estándar.
  

1.2. Que al decir “un kilo” nos estemos refiriendo a que la balanza sobre la que ponemos el objeto marca 1 kg. Esto implica que hace una fuerza de 1kp contra el platillo de la balanza.

En este caso, la balanza detecta el peso aparente, que es el peso real menos el empuje que hace el aire hacia arriba  (Pa = P - E). Entonces el peso real es algo mayor de 1 kp. Como el volumen del kilo de paja es mucho más grande que el del kilo de hierro, el empuje que sufre también lo será (ver figura). Para marcar lo mismo al pesarlos, el “kilo” de paja tiene que tener un peso real mayor.

• Respuesta correcta: ¡Pesa más el kilo de paja!, el peso de unos 11 gramos más, aunque parezca increíble.

 

2. Si se entiende por “pesar” obtener el valor que marca la balanza al ponerle el objeto encima.  Así aparecen dos opciones más:

 2.1. Que con “un kilo” nos estemos refiriendo a que la masa del cuerpo es de 1 kg.

Entonces la balanza, que marca el peso real menos el empuje del aire, marcará menos para el  kilo de paja

• Respuesta correcta: Pesa más el kilo de hierro (la paja tiene unos 11 g menos).  Hay que darle la razón al tonto aunque no sepa por qué.
  

 2.2. Que con “un kilo” nos estemos refiriendo a que la balanza sobre la que ponemos el objeto marca 1 kg.

En este caso, la balanza marca lo mismo para ambos (marca 1 kg, los dos le hacen a la balanza una fuerza de 1 kp).

• Respuesta correcta: Los dos pesan igual, la respuesta estándar

 

En el libro “Física Recreativa”, de Yakov Perelman, un clásico, ya aparecía una reflexión sobre esta pregunta, pero en este caso sólo contemplaba la opción 1.2 de las que aquí se comentan.

Espero que no se le ocurra a nadie vacilar más con esta pregunta, porque si da con un friki de la física, éste podría vacilarle bastante más.

 

 

La paradoja de los gemelos también es relativa

 

Pues sí, como es fácil de adivinar, este artículo trata de la teoría de la relatividad.

El desarrollo de esta teoría suele dar lugar a conclusiones sorprendentes que desafían abiertamente a la idea del espacio y del tiempo que tenemos comúnmente arraigada en nuestra mente. Una de las más conocidas es la famosa “paradoja de los gemelos”

Se dice que esta paradoja fue planteada por primera vez por  P. Langevin a A. Einstein, poco después de que éste publicara  la Teoría de la Relatividad Especial en 1905, alertando de de su posible incongruencia, pues llegaba a predecir situaciones absurdas o contradictorias.

Realmente,  la teoría de la relatividad no sólo no contradice a los hechos observables sino que supera a la mecánica clásica tanto en la justificación como en la predicción de los mismos. Como vamos a ver, la paradoja tiene solución, aunque el propio Einstein no la resolvería definitivamente hasta formular la Teoría de la Relatividad General unos 10 años después.

Aunque la analizaremos después más a fondo, la paradoja de los gemelos surge de un experimento mental que consiste básicamente en lo siguiente:

Un joven astronauta parte de la Tierra para hacer un largo viaje de ida y vuelta a un astro muy lejano en una nave que alcanza una velocidad constante muy próxima a la velocidad de la luz. Su hermano gemelo se queda en la Tierra esperando el día de su regreso, que se producirá dentro de algunos años.

Según las leyes relativistas, un observador que midiera la longitud y el tiempo transcurrido entre dos sucesos que tuviesen lugar en un cuerpo moviéndose con cierta velocidad con respecto a él, obtendría resultados distintos a los que mediría si los viese en reposo. Concretamente, la longitud se contrae y el tiempo se dilata. Este efecto es tanto más notable cuanto más se aproxime a la velocidad de la luz la velocidad del cuerpo con respecto al observador.

Según esto, el gemelo en la Tierra observaría que el tiempo real transcurre más despacio a bordo de la nave que el suyo propio. Como resultado de ello, al producirse el reencuentro tras el largo viaje, el gemelo de la Tierra, envejecido con el paso de los años, contemplaría cómo su hermano viajero, que asegura haber pasado muchos menos años de viaje, es mucho más joven que él.

Pero por extraño que parezca, la cosa no termina aquí. La auténtica paradoja surge si ahora planteamos el viaje desde el punto de vista del gemelo que va en la nave:

De acuerdo con su marco de referencia es La Tierra con su hermano esperando en ella la que se mueve con respecto a la nave con la velocidad citada. Así que el gemelo astronauta, para quien el tiempo pasa con total normalidad, observaría cómo en la Tierra el tiempo pasa más despacio. Cuando al fin del viaje se encuentre con su hermano en la Tierra, ¡el astronauta confirmaría que su gemelo es bastante más joven que él!

Entonces ¿envejece más el gemelo que espera o el gemelo que viaja? La aplicación, aparentemente correcta, de la teoría de la relatividad especial llega al absurdo de dar dos respuestas contradictorias para un único fenómeno real. Ésta es la verdadera paradoja.

 

El 27 de marzo de 2015 La NASA realizó un experimento en el que participaron los dos hermanos gemelos de la foto. El astronauta Scott Kelly pasó exactamente un año en órbita a bordo de la Estación Espacial Orbital mientras su hermano Mark permanecía en La Tierra haciendo su vida normal. El objetivo era comparar las consecuencias genéticas, físicas y cognitivas de una larga estancia en el espacio. Aunque algunos han querido ver en esta misión un guiño a la famosa paradoja de los gemelos, lo cierto es que la velocidad de la ISS con respecto a la Tierra está muy lejos de ser suficiente como para poder detectar diferencia alguna en la edad final de los dos hermanos. (foto NASA)

 

 El espacio y el tiempo según la Teoría de la Relatividad Especial

Antes de analizar más detenidamente el problema de los gemelos sería conveniente recordar, aunque sea muy resumidamente, en qué se basa la teoría de la relatividad y qué consecuencias tiene en la medida del espacio y del tiempo.

Con el fin de explicar ciertos hechos experimentales relacionados con la propagación de la luz y otros fenómenos electromagnéticos al ser observados desde distintos marcos de referencia, A. Einstein formula en 1905 la Teoría de la Relatividad Especial o Restringida como una nueva teoría del movimiento deducida a partir de dos postulados que asumen sendas evidencias experimentales, y que se aplica exclusivamente a observadores en sistemas de referencia sin ningún tipo de aceleración (sistemas de referencia inerciales). Estos postulados son:

1-    No hay ninguna cualidad que permita distinguir si un sistema de referencia está en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. En consecuencia, las leyes de la física tienen que ser las mismas independientemente del sistema de referencia inercial que las formule.

2-    La velocidad de la luz en el vacío (c) es invariante, independientemente de la velocidad y dirección del observador inercial que la mida.

Como consecuencia de ellos, se deducen varias leyes que, a pesar de contradecir aparentemente el sentido común, resultan ser más coherentes con los hechos experimentales que la mecánica clásica. Estas consecuencias afectan a la noción que hasta entonces se tenía de conceptos y magnitudes como el espacio, el tiempo, la simultaneidad de sucesos, la velocidad, la masa, el momento lineal o la energía; los relativiza haciéndolos dependientes unos de otros y del observador que los describe, superando a la mecánica clásica, con la que coincide cuando la velocidades de los observadores son despreciables frente a la velocidad de la luz en el vacío c = 3,0.10⁸ ms^-1 . Para velocidades próximas a c será imprescindible un planteamiento relativista del problema.

Dos de las consecuencias que nos interesa destacar aquí son la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo.

Se entiende por longitud propia (L₀) de un objeto la que mide para él un observador (S) que lo vea en reposo. Así mismo se denomina tiempo propio (Δt₀) entre dos sucesos al intervalo de tiempo transcurrido medido por un observador que los vea suceder en el mismo punto, es decir, sin velocidad.

Otro observador (S’) que mida longitudes y tiempos para objetos y sucesos que lleven velocidad relativa v con respecto a él medirá para ellos otros valores (L y Δt) que podemos llamar impropios o relativistas:  L es menor que la longitud propia y Δt mayor que el tiempo propio. Apreciaría una contracción longitudinal en la dirección de v y una dilatación temporal. Resumiendo, los objetos son más cortos y los sucesos transcurren más despacio si se ven en movimiento que si se observan en reposo.

La discrepancia entre los valores propios y relativistas de longitudes y tiempos vienen determinados por un factor g según las expresiones que se muestran a continuación. Como se puede apreciar en ellas,  los efectos relativistas de contracción del espacio y dilatación del tiempo sólo son significativos cuando la velocidad v es comparable a la velocidad de la luz, haciendo así que el factor γ  sea claramente mayor que 1.

 

L = L₀ / γ           Δt = Δt₀ . γ         

γ = 1 / √ (1- v²/c²)

Hay que insistir en que los postulados de la relatividad especial y sus conclusiones sólo son válidos para observadores inerciales, es decir no sometidos a fuerzas netas y cuyo movimiento relativo es en línea recta a velocidad constante. Y recordar que los efectos relativistas, en los que ya no es aplicable la mecánica clásica newtoniana, sólo son apreciables cuando la velocidad se acerca al valor límite de la velocidad de la luz.

Como se puede ver, frente al dicho popular según el cual la teoría de la relatividad dice que “todo es relativo”, lo cierto es que la teoría se basa en dos entes invariantes y absolutos: la formulación de las leyes de la mecánica y la velocidad de la luz. Esto es precisamente lo que hace relativa e interdependiente la propia naturaleza del espacio y del tiempo, entrando en conflicto con la idea “de sentido común” de un espacio y un tiempo absolutos e independientes. Pero no pasa nada, tengamos en cuenta que el sentido común ha sido moldeado inconscientemente por la evolución biológica y cultural  de nuestra forma de pensar a lo largo de la historia y nunca ha tenido en cuenta velocidades comparables a la de la luz, distancias cósmicas o diferencias de tiempo infinitesimales. En algunos casos está bien dejarnos guiar por él para asuntos de “andar por casa”, pero ya no sirve para sincronizar relojes atómicos, medir distancias interestelares o investigar partículas subatómicas en movimiento. 

La paradoja de los gemelos es una consecuencia de la discrepancia en la duración temporal de un suceso (el viaje) que surge al aplicar la Teoría de la Relatividad Especial, vista desde dos sistemas de referencia distintos (el viajero y el que espera en Tierra) 

 

Volvamos pues con la paradoja de los gemelos

Supongamos dos hermanos gemelos, Ulises y Penélope. Cuando ambos cumplen 30 años, Ulises se embarca en  un largo viaje de ida y vuelta  hasta la estrella Ítaca que se encuentra a una distancia de 24,5 años-luz de la Tierra, mientras que Penélope se queda en la Tierra esperando su regreso. La nave en la que viaja Ulises hace su larga travesía a la enorme velocidad  de 0,98 c, es decir, al 98 % de la velocidad de la luz. La pregunta es: ¿cuánto habrá durado el viaje y qué edad tendrán los dos gemelos cuando vuelvan a encontrarse?

La proximidad a la velocidad de la luz, nos obliga a hacer el cálculo empleando la teoría de la relatividad, según la cual los espacios y tiempos propios vienen afectados por un factor γ = 1 / √ (1- v²/c²) en función del observador que los mida. Para este caso concreto, v = 0,98 c ,  γ = 5,0 

 

Nivel  Inicio. La paradoja de los gemelos tal como algunos la suelen contar.

Consideremos la duración del viaje como el intervalo de tiempo transcurrido entre dos sucesos que son la partida y la llegada que tienen lugar en el mismo punto para ambos hermanos, y que puede ser medido por un reloj en Tierra y otro a bordo de la nave.

Para Penélope, que se ha quedado en la Tierra, el tiempo que han marcado su relojes tanto mecánicos como biológicos (su tiempo propio) para la duración del viaje es lo que ha tardado la nave en recorrer una distancia d de 49 años-luz (24,5 de ida y 24,5 de vuelta) con velocidad v = 0,89 c,  es decir: Δt = d / v =  49 c / 0,98 c  = 50 años

Mientras tanto, Penélope ve que Ulises se desplaza con una velocidad v con respecto a ella, y razona acertadamente que los relojes mecánicos o biológicos que viajan con Ulises, que marcan el tiempo propio de éste Δt₀ , y por tanto el transcurso de su vida, atrasan o se ralentizan con respecto a los de la Tierra, que marcarán un tiempo Δt mayor (el tiempo propio de Penélope), según la expresión relativista: Δt = Δt₀ .γ  ,  En este caso Δt₀ = 50 /5,0 = 10 años, que es el tiempo que para Ulises ha durado el viaje.

En resumen, que cuando se produce el reencuentro en la Tierra, Penélope que ha pasado 50 años de su vida esperando, tendrá 80 años de edad, mientras que su hermano gemelo Ulises, que asegura haber estado 10 años de viaje, tendrá sólo 40 años de edad ¡sería 40 años más joven que su gemela!. Paradójico ¿no?

Es preciso señalar que no es que Ulises haya pasado ese tiempo sumido en una especie de aletargamiento o viviendo como en una película a cámara lenta al estilo de Matrix. De hecho, si eligiésemos a Ulises como marco de referencia, veríamos que el mecanismo de su reloj y su vida a bordo transcurren a ritmo normal, con su tiempo propio.

Vale, hasta aquí la famosa paradoja de los gemelos tal como se suele contar por ahí adelante, incluyendo algunos libros de texto de física. Esto en realidad no es una paradoja y no supone ningún problema. Al fin y al cabo estas discrepancias en el transcurso del tiempo se pueden observar todos los días en los laboratorios de física de partículas con otros “gemelos” no humanos, como las partículas subatómicas, cuyo tiempo de vida media resulta ser significativamente mayor en movimiento que en reposo, y es utilizado normalmente en la sincronización de los relojes idénticos de los satélites de GPS y de la Tierra para ajustar correctamente nuestra ubicación. En cualquiera de los casos, se emplean las ecuaciones de la relatividad especial descritas, y los distintos tiempos obtenidos por cada observador  para un mismo par de sucesos son exactamente iguales a lo que predice la teoría.

 

Nivel Pro. La verdadera paradoja de los gemelos.

Pero el problema de verdad surge si ahora planteamos el viaje desde el punto de vista de Ulises en su nave.  Esto parece perfectamente lícito ya que, al igual que su hermana, es un observador inercial y según la teoría, las mismas leyes físicas se cumplen indistintamente desde uno u otro sistema.

Ulises se vería a sí mismo en reposo y observaría a la Tierra, a su hermana y al entorno cósmico moverse a la misma y tremenda velocidad constante de 0,98 c. Esto no tiene que parecernos extraño, en realidad todo se mueve de una manera u otra dependiendo del sistema de referencia que lo observe. Sólo que la distancia recorrida ya no sería la longitud propia L₀ = 49 años-luz establecida desde la Tierra, sino que estaría contraída según la ley relativista  L= L₀ / γ ,  en un factor γ = 5,0 hasta ser L = 9,8 años-luz para Ulises. Y esto le lleva tan sólo un tiempo de 10 años, que es justo lo que había previsto Penélope para su hermano mientras ella esperaba durante 50 años de su vida. Hasta aquí todo bien.

Pues ahora viene lo bueno. Ulises aplica  Δt = Δt₀ .γ   para hallar el tiempo que ha pasado para Penélope durante sus 10 años de viaje. El tiempo vivido por Penélope es ahora el tiempo propio Δt₀, pues para ella no se ha movido del sitio, mientras que los 10 años de viaje contados por Ulises son el tiempo relativista Δt, pues ve cómo Penélope se ha movido con velocidad.

Si para Ulises el viaje ha durado Δt = 10 años, para Penélope han sido Δt₀ = Δt / γ = 10 / 5,0 = 2 años. Al final del viaje, Ulises tendrá 40 años y Penélope 32.

 Desde el punto de vista de Ulises, el tiempo pasa más despacio para Penélope y en consecuencia, cuando se reencuentren ¡Penélope será más joven que él!. Es la conclusión opuesta al razonamiento planteado desde la referencia de Penélope.

He aquí la auténtica paradoja de los gemelos. Una situación absurda que parece no tener solución.

Y ahora ¡cuidado!. Algunos libros de texto atajan erróneamente diciendo que si, según Penélope, ella cumple 80 años cuando se encuentra a Ulises cuando éste  cumple 40; entonces, igualmente a Ulises le sale que cumple 80 mientras su hermana cumple 40. El cálculo no es correcto, como acabamos de ver.

 

Nivel Premium. La paradoja tiene solución, así que no hay paradoja.

Entonces ¿cuál de los dos gemelos tiene la razón? ¿quién es finalmente el más joven, y cuánto más?. ¿Hay alguna salida para desmontar esta paradoja?. La respuesta es afirmativa y se encuentra en la propia teoría de la relatividad.  Todo parte de  una suposición incorrecta que habíamos pasado por alto, y es que los sistemas de referencia de cada hermano en realidad no pueden ser equivalentes, ya  que es imposible que  se produzca el reencuentro si el gemelo viajero no acelera al salir, da la vuelta en algún momento y frena al llegar, es decir, que sufra aceleraciones. La premisa de que los dos hermanos son sistemas de referencia inerciales y simétricos en el espacio y el tiempo ya no es válida pues el viajero no es inercial en algunos momentos del viaje.

Tanto la teoría como la experimentación coinciden al demostrar que el tiempo se habrá dilatado para el que viaja, con lo que cuando se encuentren otra vez el más joven va a ser Ulises, y la diferencia de edad es la que corresponde al cálculo realizado desde el sistema de referencia inercial de la Tierra. Veamos, esta vez sin cuentas, cómo se puede llegar a esta conclusión que va a suponer la solución de la paradoja.

La teoría de la relatividad general, propuesta por el mismo Einstein 10 años después para extender la relatividad a todo tipo de sistemas de referencia, tanto inerciales como acelerados,  predice que un observador inercial detectará una dilatación del tiempo entre dos sucesos que tengan lugar en un sistema de referencia acelerado o sometido a un campo gravitatorio (dos situaciones equivalentes y físicamente indistinguibles). A pesar de la diferencia de gravedad con la Tierra, las aceleraciones a las que tendría que someterse Ulises para conseguir alcanzar y perder después su altísima velocidad, explicarían según la relatividad general que sea el tiempo propio de Ulises el que haya pasado más lentamente que el de Penélope. Esta idea desmonta la validez del argumento que había empleado el gemelo viajero, deshaciendo así la paradoja.

 

Pero a la misma conclusión se puede llegar sin abandonar el marco de la teoría de la relatividad restringida.

Los dos observadores, aunque supuestamente inerciales, no son simétricos. Penélope está en lo cierto en todo momento pues su sistema de referencia no cambia en ningún momento. Pero Ulises, aun admitiendo que cambie instantáneamente el sentido de su movimiento, invierte en ese instante su sistema de referencia, rompiendo la simetría que hasta ahora mantenía con el otro planteamiento. El cálculo demuestra que asumir ese cambio de referencia  supone que el tiempo observado para Penélope, que según él pasaba más despacio, habría aumentado 48 años de golpe, que sumados a los 2 de ida de vuelta harían los 50 de Penélope, frente a los 10 de Ulises.   

En cualquier caso, para el gemelo que viaja, el tiempo se dilata según el factor g previsto por el que se queda. Como resultado, cuando se produzca realmente el reencuentro de los gemelos, Ulises tendrá 40 años y Penélope 80. El tiempo de Ulises habrá transcurrido γ = 5 veces más lento que el de Penélope. El resultado es único y por lo tanto no hay paradoja.

 

Pero, ¿y si el viajero no acelera ni cambia de sentido en ningún momento?

Por ejemplo, pasando a velocidad v constante y en línea recta al lado del que espera en reposo, o bien cruzándose ambos en movimiento rectilíneo y uniforme en sentidos opuestos con velocidad relativa v.

En este caso los dos sistemas de referencia son inerciales y totalmente equivalentes para las leyes de la relatividad especial. Cada uno ve como su tiempo propio transcurre con normalidad mientras concluye que es al otro al que le pasa más despacio. ¿Otra vez la paradoja? En realidad no. No es una situación paradójica porque, al no poder reencontrarse de nuevo, nunca podrán confrontar entre ellos  ni sus relojes ni el paso de sus vidas a no ser que alguno frene y se pare y vuelva a acelerar ( ya no sería inercial) o se intercambien señales periódicas para comparar sus relojes.  Dichas señales no serían instantáneas, pues como mucho viajarían a la velocidad de la luz, y recorrían una distancia en un tiempo. Estos espacios y tiempos también son interdependientes y relativos al observador, y están sometidos a los mismos efectos relativistas descritos antes. En todo momento los sucesos ocurridos en la situación de cada observador tienen lugar en puntos diferentes del espacio-tiempo y la noción intuitiva de simultaneidad deja de tener sentido.

En conclusión. No hay ninguna posibilidad real de encuentro ni de sincronización de la información del tiempo, así que el problema de los gemelos que se reencuentran no puede plantearse en la realidad. Si no hay problema, no hay paradoja.

 

Referencias y más información:

P. Tipler, G. Mosca. Física para la Ciencia y la Tecnología. REVERTÉ. VI ed. (2015)

H. Young, R. Freedmann. Sears. Zemansky - Física Universitaria con Física Moderna.Vol.2. PEARSON EDUCACIÓN. XII ed. (2009)

J. I. Illana. “Descubre la relatividad”. D. Física Teórica. Universidad de Granada. (2017)  https://www.ugr.es/~jillana/SR/sr.pdf

Javier Santaolalla. Date un Voltio. “La paradoja de los gemelos ¡resuelta!“ https://www.youtube.com/watch?v=lPEo0wDiU0c