Pues
sí, como es fácil de adivinar, este artículo trata de la teoría de la
relatividad.
El
desarrollo de esta teoría suele dar lugar a conclusiones sorprendentes que
desafían abiertamente a la idea del espacio y del tiempo que tenemos comúnmente
arraigada en nuestra mente. Una de las más conocidas es la famosa “paradoja de
los gemelos”
Se
dice que esta paradoja fue planteada por primera vez por P. Langevin a A. Einstein, poco después de que
éste publicara la Teoría de la Relatividad
Especial en 1905, alertando de de su posible incongruencia, pues llegaba a
predecir situaciones absurdas o contradictorias.
Realmente, la teoría de la relatividad no sólo no
contradice a los hechos observables sino que supera a la mecánica clásica tanto
en la justificación como en la predicción de los mismos. Como vamos a ver, la
paradoja tiene solución, aunque el propio Einstein no la resolvería
definitivamente hasta formular la Teoría de la Relatividad General unos 10 años
después.
Aunque
la analizaremos después más a fondo, la paradoja de los gemelos surge de un experimento mental que consiste básicamente en lo siguiente:
Un joven astronauta
parte de la Tierra para hacer un largo viaje de ida y vuelta a un astro muy
lejano en una nave que alcanza una velocidad constante muy próxima a la
velocidad de la luz. Su hermano gemelo se queda en la Tierra esperando el día
de su regreso, que se producirá dentro de algunos años.
Según las leyes
relativistas, un observador que midiera la longitud y el tiempo transcurrido entre
dos sucesos que tuviesen lugar en un cuerpo moviéndose con cierta velocidad con
respecto a él, obtendría resultados distintos a los que mediría si los viese en
reposo. Concretamente, la longitud se contrae y el tiempo se dilata. Este
efecto es tanto más notable cuanto más se aproxime a la velocidad de la luz la
velocidad del cuerpo con respecto al observador.
Según esto, el gemelo en
la Tierra observaría que el tiempo real transcurre más despacio a bordo de la
nave que el suyo propio. Como resultado de ello, al producirse el reencuentro
tras el largo viaje, el gemelo de la Tierra, envejecido con el paso de los años,
contemplaría cómo su hermano viajero, que asegura haber pasado muchos menos
años de viaje, es mucho más joven que él.
Pero
por extraño que parezca, la cosa no termina aquí. La auténtica paradoja surge
si ahora planteamos el viaje desde el punto de vista del gemelo que va en la
nave:
De acuerdo con su marco de referencia es La Tierra con su hermano
esperando en ella la que se mueve con respecto a la nave con la velocidad
citada. Así que el gemelo astronauta, para quien el tiempo pasa con total
normalidad, observaría cómo en la Tierra el tiempo pasa más despacio. Cuando al
fin del viaje se encuentre con su hermano en la Tierra, ¡el astronauta
confirmaría que su gemelo es bastante más joven que él!
Entonces
¿envejece más el gemelo que espera o el gemelo que viaja? La aplicación,
aparentemente correcta, de la teoría de la relatividad especial llega al
absurdo de dar dos respuestas contradictorias para un único fenómeno real. Ésta
es la verdadera paradoja.
El 27 de marzo de 2015 La NASA realizó un experimento en el que participaron los dos hermanos gemelos de la
foto. El astronauta Scott Kelly pasó exactamente un año en órbita a bordo de la
Estación Espacial Orbital mientras su hermano Mark permanecía en La Tierra haciendo
su vida normal. El objetivo era comparar las consecuencias
genéticas, físicas y cognitivas de una larga estancia en el espacio. Aunque algunos han querido ver en esta misión un guiño a la famosa paradoja de los
gemelos, lo cierto es que la velocidad de la ISS con respecto a la Tierra está
muy lejos de ser suficiente como para poder detectar diferencia alguna en la edad
final de los dos hermanos. (foto NASA)
El espacio y el tiempo según
la Teoría de la Relatividad Especial
Antes
de analizar más detenidamente el problema de los gemelos sería conveniente
recordar, aunque sea muy resumidamente, en qué se basa la teoría de la
relatividad y qué consecuencias tiene en la medida del espacio y del tiempo.
Con
el fin de explicar ciertos hechos experimentales relacionados con la
propagación de la luz y otros fenómenos electromagnéticos al ser observados
desde distintos marcos de referencia, A. Einstein formula en 1905 la Teoría de la Relatividad Especial o Restringida
como una nueva teoría del movimiento deducida a partir de dos postulados que
asumen sendas evidencias experimentales, y que se aplica exclusivamente a
observadores en sistemas de referencia sin ningún tipo de aceleración (sistemas
de referencia inerciales). Estos postulados son:
1- No
hay ninguna cualidad que permita distinguir si un sistema de referencia está en
reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. En consecuencia, las leyes de la
física tienen que ser las mismas independientemente del sistema de referencia
inercial que las formule.
2- La
velocidad de la luz en el vacío (c) es invariante, independientemente de la
velocidad y dirección del observador inercial que la mida.
Como
consecuencia de ellos, se deducen varias leyes que, a pesar de contradecir
aparentemente el sentido común, resultan ser más coherentes con los hechos
experimentales que la mecánica clásica. Estas consecuencias afectan a la noción
que hasta entonces se tenía de conceptos y magnitudes como el espacio, el
tiempo, la simultaneidad de sucesos, la velocidad, la masa, el momento lineal o
la energía; los relativiza haciéndolos dependientes unos de otros y del
observador que los describe, superando a la mecánica clásica, con la que
coincide cuando la velocidades de los observadores son despreciables frente a
la velocidad de la luz en el vacío c = 3,0.108 ms-1 .
Para velocidades próximas a c será imprescindible un planteamiento relativista
del problema.
Dos
de las consecuencias que nos interesa destacar aquí son la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo.
Se
entiende por longitud propia (L0) de un objeto la que mide para él
un observador (S) que lo vea en reposo. Así mismo se denomina tiempo propio (Δt0) entre dos sucesos al
intervalo de tiempo transcurrido medido por un observador que los vea suceder
en el mismo punto, es decir, sin velocidad.
Otro
observador (S’) que mida longitudes y tiempos para objetos y sucesos que lleven
velocidad relativa v con respecto a él medirá para ellos otros valores (L y Δt) que podemos llamar impropios o
relativistas: L es menor que la longitud
propia y Δt mayor que el tiempo propio.
Apreciaría una contracción longitudinal en la dirección de v y una dilatación
temporal. Resumiendo, los objetos son más cortos y los sucesos transcurren más
despacio si se ven en movimiento que si se observan en reposo.
La
discrepancia entre los valores propios y relativistas de longitudes y tiempos vienen
determinados por un factor g según las
expresiones que se muestran a continuación. Como
se puede apreciar en ellas, los efectos
relativistas de contracción del espacio y dilatación del tiempo sólo son significativos cuando la
velocidad v es comparable a la velocidad de la luz, haciendo así que el factor γ sea claramente mayor que 1.
L = L0 / γ Δt = Δt0 . γ
γ = 1 / √
(1- v2/c2)
Hay
que insistir en que los postulados de la relatividad especial y sus
conclusiones sólo son válidos para observadores inerciales, es decir no
sometidos a fuerzas netas y cuyo movimiento relativo es en línea recta a
velocidad constante. Y recordar que los efectos relativistas, en los que ya no
es aplicable la mecánica clásica newtoniana, sólo son apreciables cuando la
velocidad se acerca al valor límite de la velocidad de la luz.
Como
se puede ver, frente al dicho popular según el cual la teoría de la relatividad
dice que “todo es relativo”, lo cierto es que la teoría se basa en dos entes
invariantes y absolutos: la formulación de las leyes de la mecánica y la
velocidad de la luz. Esto es precisamente lo que hace relativa e
interdependiente la propia naturaleza del espacio y del tiempo, entrando en conflicto
con la idea “de sentido común” de un espacio y un tiempo absolutos e
independientes. Pero no pasa nada, tengamos en cuenta que el sentido común ha
sido moldeado inconscientemente por la evolución biológica y cultural de nuestra forma de pensar a lo largo de la
historia y nunca ha tenido en cuenta velocidades comparables a la de la luz, distancias
cósmicas o diferencias de tiempo infinitesimales. En algunos casos está bien
dejarnos guiar por él para asuntos de “andar por casa”, pero ya no sirve para
sincronizar relojes atómicos, medir distancias interestelares o investigar
partículas subatómicas en movimiento.
La
paradoja de los gemelos es una consecuencia de la discrepancia en la duración
temporal de un suceso (el viaje) que surge al aplicar la Teoría
de la Relatividad Especial, vista desde dos sistemas de referencia
distintos (el viajero y el que espera en Tierra)
Volvamos pues con la
paradoja de los gemelos
Supongamos
dos hermanos gemelos, Ulises y Penélope. Cuando ambos cumplen 30 años, Ulises
se embarca en un largo viaje de ida y
vuelta hasta la estrella Ítaca que se
encuentra a una distancia de 24,5 años-luz de la Tierra, mientras que Penélope
se queda en la Tierra esperando su regreso. La nave en la que viaja Ulises hace
su larga travesía a la enorme velocidad
de 0,98 c, es decir, al 98 % de la velocidad de la luz. La pregunta es: ¿cuánto
habrá durado el viaje y qué edad tendrán los dos gemelos cuando vuelvan a
encontrarse?
La
proximidad a la velocidad de la luz, nos obliga a hacer el cálculo empleando la
teoría de la relatividad, según la cual los espacios y tiempos propios vienen
afectados por un factor γ = 1 / √
(1- v2/c2) en
función del observador que los mida. Para este caso concreto, v = 0,98 c , γ
= 5,0
Nivel Inicio. La paradoja de los gemelos tal como algunos
la suelen contar.
Consideremos
la duración del viaje como el intervalo de tiempo transcurrido entre dos
sucesos que son la partida y la llegada que tienen lugar en el mismo punto para
ambos hermanos, y que puede ser medido por un reloj en Tierra y otro a bordo de
la nave.
Para
Penélope, que se ha quedado en la Tierra, el tiempo que han marcado su relojes
tanto mecánicos como biológicos (su tiempo propio) para la duración del viaje es
lo que ha tardado la nave en recorrer una distancia d de 49 años-luz (24,5 de
ida y 24,5 de vuelta) con velocidad v = 0,89 c,
es decir: Δt = d / v = 49 c / 0,98 c = 50 años
Mientras
tanto, Penélope ve que Ulises se desplaza con una velocidad v con respecto a
ella, y razona acertadamente que los relojes mecánicos o biológicos que viajan
con Ulises, que marcan el tiempo propio de éste Δt0
, y por tanto el transcurso de su vida, atrasan o se ralentizan con respecto a
los de la Tierra, que marcarán un tiempo Δt
mayor (el tiempo propio de Penélope), según la expresión relativista: Δt = Δt0
.γ
, En este caso Δt0 = 50 /5,0 = 10 años, que
es el tiempo que para Ulises ha durado el viaje.
En
resumen, que cuando se produce el reencuentro en la Tierra, Penélope que ha
pasado 50 años de su vida esperando, tendrá 80 años de edad, mientras que su
hermano gemelo Ulises, que asegura haber estado 10 años de viaje, tendrá sólo
40 años de edad ¡sería 40 años más joven que su gemela!. Paradójico ¿no?
Es
preciso señalar que no es que Ulises haya pasado ese tiempo sumido en una
especie de aletargamiento o viviendo como en una película a cámara lenta al
estilo de Matrix. De hecho, si eligiésemos a Ulises como marco de referencia,
veríamos que el mecanismo de su reloj y su vida a bordo transcurren a ritmo
normal, con su tiempo propio.
Vale,
hasta aquí la famosa paradoja de los gemelos tal como se suele contar por ahí
adelante, incluyendo algunos libros de texto de física. Esto en realidad no es una
paradoja y no supone ningún problema. Al fin y al cabo estas discrepancias en
el transcurso del tiempo se pueden observar todos los días en los laboratorios
de física de partículas con otros “gemelos” no humanos, como las partículas
subatómicas, cuyo tiempo de vida media resulta ser significativamente mayor en
movimiento que en reposo, y es utilizado normalmente en la sincronización de
los relojes idénticos de los satélites de GPS y de la Tierra para ajustar
correctamente nuestra ubicación. En cualquiera de los casos, se emplean las
ecuaciones de la relatividad especial descritas, y los distintos tiempos
obtenidos por cada observador para un
mismo par de sucesos son exactamente iguales a lo que predice la teoría.
Nivel
Pro. La verdadera paradoja de los gemelos.
Pero el problema de verdad surge si ahora
planteamos el viaje desde el punto de vista de Ulises en su nave. Esto parece perfectamente lícito ya que, al
igual que su hermana, es un observador inercial y según la teoría, las mismas leyes
físicas se cumplen indistintamente desde uno u otro sistema.
Ulises
se vería a sí mismo en reposo y observaría a la Tierra, a su hermana y al
entorno cósmico moverse a la misma y tremenda velocidad constante de 0,98 c.
Esto no tiene que parecernos extraño, en realidad todo se mueve de una manera u
otra dependiendo del sistema de referencia que lo observe. Sólo que la
distancia recorrida ya no sería la longitud propia L0 = 49 años-luz
establecida desde la Tierra, sino que estaría contraída según la ley
relativista L= L0 / γ ,
en un factor γ = 5,0 hasta ser L
= 9,8 años-luz para Ulises. Y esto le
lleva tan sólo un tiempo de 10 años, que es justo lo que había previsto
Penélope para su hermano mientras ella esperaba durante 50 años de su vida.
Hasta aquí todo bien.
Pues ahora
viene lo bueno. Ulises aplica Δt = Δt0 .γ para hallar el tiempo que ha pasado para
Penélope durante sus 10 años de viaje. El tiempo vivido por Penélope es ahora el
tiempo propio Δt0, pues para ella no se ha
movido del sitio, mientras que los 10 años de viaje contados por Ulises son el
tiempo relativista Δt, pues ve cómo
Penélope se ha movido con velocidad.
Si para
Ulises el viaje ha durado Δt = 10 años, para
Penélope han sido Δt0 = Δt / γ
= 10 / 5,0 = 2 años. Al final del viaje, Ulises tendrá 40 años y Penélope 32.
Desde el punto de vista de Ulises, el tiempo
pasa más despacio para Penélope y en consecuencia, cuando se reencuentren
¡Penélope será más joven que él!. Es la conclusión opuesta al razonamiento planteado
desde la referencia de Penélope.
He aquí la
auténtica paradoja de los gemelos. Una situación absurda que parece no tener
solución.
Y ahora
¡cuidado!. Algunos libros de texto atajan erróneamente diciendo que si, según
Penélope, ella cumple 80 años cuando se encuentra a Ulises cuando éste cumple 40; entonces, igualmente a Ulises le
sale que cumple 80 mientras su hermana cumple 40. El cálculo no es correcto,
como acabamos de ver.
Nivel
Premium. La paradoja tiene solución, así que no hay paradoja.
Entonces
¿cuál de los dos gemelos tiene la razón? ¿quién es finalmente el más joven, y
cuánto más?. ¿Hay alguna salida para desmontar esta paradoja?. La respuesta es
afirmativa y se encuentra en la propia teoría de la relatividad. Todo parte de una suposición incorrecta que habíamos pasado
por alto, y es que los sistemas de referencia de cada hermano en realidad no
pueden ser equivalentes, ya que es imposible
que se produzca el reencuentro si el
gemelo viajero no acelera al salir, da la vuelta en algún momento y frena al
llegar, es decir, que sufra aceleraciones. La premisa de que los dos hermanos
son sistemas de referencia inerciales y simétricos en el espacio y el tiempo ya
no es válida pues el viajero no es inercial en algunos momentos del viaje.
Tanto
la teoría como la experimentación coinciden al demostrar que el tiempo se habrá
dilatado para el que viaja, con lo que cuando se encuentren otra vez el más
joven va a ser Ulises, y la diferencia de edad es la que corresponde al cálculo
realizado desde el sistema de referencia inercial de la Tierra. Veamos, esta
vez sin cuentas, cómo se puede llegar a esta conclusión que va a suponer la
solución de la paradoja.
La teoría de la
relatividad general,
propuesta por el mismo Einstein 10 años después para extender la relatividad a
todo tipo de sistemas de referencia, tanto inerciales como acelerados, predice que un observador inercial detectará
una dilatación del tiempo entre dos sucesos que tengan lugar en un sistema de
referencia acelerado o sometido a un campo gravitatorio (dos situaciones
equivalentes y físicamente indistinguibles). A pesar de la diferencia de
gravedad con la Tierra, las aceleraciones a las que tendría que someterse
Ulises para conseguir alcanzar y perder después su altísima velocidad,
explicarían según la relatividad general que sea el tiempo propio de Ulises el
que haya pasado más lentamente que el de Penélope. Esta idea desmonta la validez
del argumento que había empleado el gemelo viajero, deshaciendo así la paradoja.
Pero
a la misma conclusión se puede
llegar sin abandonar el marco de la
teoría de la relatividad restringida.
Los
dos observadores, aunque supuestamente inerciales, no son simétricos. Penélope
está en lo cierto en todo momento pues su sistema de referencia no cambia en
ningún momento. Pero Ulises, aun admitiendo que cambie instantáneamente el
sentido de su movimiento, invierte en ese instante su sistema de referencia,
rompiendo la simetría que hasta ahora mantenía con el otro planteamiento. El
cálculo demuestra que asumir ese cambio de referencia supone que el tiempo observado para Penélope,
que según él pasaba más despacio, habría aumentado 48 años de golpe, que sumados
a los 2 de ida de vuelta harían los 50 de Penélope, frente a los 10 de Ulises.
En
cualquier caso, para el gemelo que viaja, el tiempo se dilata según el factor g previsto por el que se queda. Como
resultado, cuando se produzca realmente el reencuentro de los gemelos, Ulises
tendrá 40 años y Penélope 80. El tiempo de Ulises habrá transcurrido γ = 5 veces más lento que el de
Penélope. El resultado es único y por lo tanto no hay paradoja.
Pero, ¿y si el viajero
no acelera ni cambia de sentido en ningún momento?
Por
ejemplo, pasando a velocidad v constante
y en línea recta al lado del que espera en reposo, o bien cruzándose ambos en
movimiento rectilíneo y uniforme en sentidos opuestos con velocidad relativa v.
En
este caso los dos sistemas de referencia son inerciales y totalmente
equivalentes para las leyes de la relatividad especial. Cada uno ve como su
tiempo propio transcurre con normalidad mientras concluye que es al otro al que
le pasa más despacio. ¿Otra vez la paradoja? En realidad no. No es una
situación paradójica porque, al no poder reencontrarse de nuevo, nunca podrán
confrontar entre ellos ni sus relojes ni
el paso de sus vidas a no ser que alguno frene y se pare y vuelva a acelerar (
ya no sería inercial) o se intercambien señales periódicas para comparar sus
relojes. Dichas señales no serían
instantáneas, pues como mucho viajarían a la velocidad de la luz, y recorrían
una distancia en un tiempo. Estos espacios y tiempos también son
interdependientes y relativos al observador, y están sometidos a los mismos efectos
relativistas descritos antes. En todo momento los sucesos ocurridos en la
situación de cada observador tienen lugar en puntos diferentes del
espacio-tiempo y la noción intuitiva de simultaneidad deja de tener sentido.
En
conclusión. No hay ninguna posibilidad real de encuentro ni de sincronización
de la información del tiempo, así que el problema de los gemelos que se reencuentran
no puede plantearse en la realidad. Si no hay problema, no hay paradoja.
Referencias y más
información:
P.
Tipler, G. Mosca. Física para la Ciencia y la Tecnología. REVERTÉ.
VI ed. (2015)
H. Young, R.
Freedmann. Sears. Zemansky
- Física Universitaria con Física Moderna.Vol.2. PEARSON EDUCACIÓN. XII ed.
(2009)
J.
I. Illana. “Descubre la relatividad”. D. Física Teórica. Universidad de Granada.
(2017) https://www.ugr.es/~jillana/SR/sr.pdf
Javier
Santaolalla. Date un Voltio. “La paradoja de los gemelos ¡resuelta!“ https://www.youtube.com/watch?v=lPEo0wDiU0c