Supongamos que estamos a punto de terminar la resolución de un problema, ya hemos hecho las cuentas y tenemos un resultado. Tomar literalmente el número final que muestra la calculadora no es necesariamente lo mismo que dar la solución. Es preciso dedicar un poco de atención a la presentación correcta de esa cantidad que vamos a dar como resultado. El número obtenido debería pasar antes por algunos filtros que aseguren su valor correcto, que criben las cifras que estén de más por no tener significado real, y que le den un formato adecuado que permita apreciar fácilmente su magnitud y precisión.
Veamos a continuación algunas dudas y afirmaciones que los profesores suelen oír frecuentemente cuando proponen un problema:
Todas revelan una confusión bastante común acerca de lo que significa dar un resultado numérico como solución de un problema inspirado en la realidad, y la forma correcta en que debiéramos expresar dicho resultado.
Así, es frecuente ver como soluciones de los problemas números llenos de cifras inútiles o falsas, ya sean decimales o no; errores de cálculo que podría haberse revisado y corregido fácilmente; soluciones presentadas como una larga ristra de cifras llenas de ceros antes o después de la coma decimal; nula mención a las unidades físicas del resultado o mala elección del múltiplo o submúltiplo de éstas.
En esto de quitarle importancia a la presentación de los números no estamos hablando sólo de jóvenes alumnos de ciencias que aún están aprendiendo, sino también de un número considerable de profesionales de todos los ámbitos científicos. Para evitar esto, no hay más remedio que enseñar buenos hábitos durante la enseñanza media y exigir su debido tratamiento en la enseñanza superior y en el ámbito profesional.
Lo primero, las respuestas.
Pues dependerá del orden de magnitud del número que obtengas (unidades, décimas, millares, milésimas …) No tiene sentido que preguntes por los decimales sino por el número de cifras significativas que permitan los datos y operaciones que hayas empleado.
¡Me he vuelto a equivocar! Me sale 2571,98 pero la solución es 2600.
No te has equivocado; con las cuentas que has hecho te ha salido el mismo número que da la solución, sólo que ésta aparece con solo dos cifras significativas, posiblemente porque de los datos de partida del problema no den opción a poner más. Redondeando tu cuenta hasta las dos primeras cifras significativas quedaría justamente 2600. Las demás cifras obtenidas no tienen significado real, por lo que no deben ponerse.
83,2 mg equivalen a 0,000083 kg. En kilos es más preciso, porque le he dejado hasta seis decimales.
¡No! ¡Has perdido información al hacer la conversión! Los decimales no pintan nada en esto. La precisión viene dada por las cifras significativas (las que tienen información veraz) Tenías 3 cifras significativas y te has quedado sólo con 2.
No hay forma humana de contar los granos de maíz que contiene el granero, ¡jamás podré disponer de ese dato!
Ni hay forma ni falta que hace. ¡haz una estimación!, en este caso es fácil de hacer una bastante precisa. Lo importante es saber su orden de magnitud, no el número exacto; si hay del orden de 100 millones, lo mismo te da que haya cien mil más o cien mil menos, no es más que un 0,1% de la cantidad exacta.
Cálculos, cifras, redondeos, estimaciones …
Se está hablando por aquí de algunos conceptos claves en relación con los números que van a expresar la solución de los problemas: orden de magnitud, precisión, cifras significativas, decimales, redondeo, cálculo, estimación …
En ciencias experimentales, tales como la física o la química, las magnitudes que se manejan se expresan con números que tienen su origen en medidas, estimaciones o datos de partida con una precisión limitada. Los resultados que se obtienen de los cálculos a partir de estos datos también tienen que estar ajustados a la realidad; siempre van a venir afectados de una determinada precisión y, en consecuencia, sólo tendrán sentido las primeras cifras significativas de todas las que se obtienen en el cálculo.
Las calculadoras hacen que el trabajo de hallar el resultado de una magnitud a partir de los datos numéricos sea rápido y seguro. Sin embargo, los dígitos que arroja una calculadora después de hacer todas las cuentas hay que tomarlos con cierta reserva, o retocarlos convenientemente para que se ajusten a la realidad y la certidumbre que representan.
Por una parte, es posible que hayamos cometido un error humano al introducir los datos (humano, sí, las calculadoras nunca se equivocan), por lo que será preciso seguir un procedimiento de cálculo de tal manera que se minimice la probabilidad de que se produzca una equivocación, o de detectarla y corregirla si es que aun así se produce, haciendo una estimación previa del orden de magnitud del resultado antes de calcularlo y valorando la verosimilitud del resultado finalmente obtenido. No olvidemos que errar es de humanos, pero lo que no tiene perdón es no hacer lo posible para detectar y corregir los errores.
Por otra parte, el número obtenido como resultado suele presentar más cifras de las que permite la precisión que lo afecta, por lo que habrá que hacer un redondeo; de todas las cifras que componen el número del resultado obtenido, sólo unas pocas de las primeras son cifras significativas, es decir, cifras veraces permitidas por la precisión de los datos de partida; las siguientes cifras no tienen una validez real ni aportan información alguna, por lo que es preciso eliminarlas del resultado (como se suele decir, de donde no hay no se puede sacar). Hay que insistir que esto no tiene que ver en absoluto con el número de decimales, sino con el concepto de cifras significativas.
Por último, no todo es pura aritmética. A veces hay que hacer aproximaciones, o estimaciones de magnitudes imposibles de calcular con exactitud. En ocasiones, los datos de partida son inciertos, limitados o incluso no disponibles, por lo que al desarrollar el problema es necesario estimar su valor o hacer las simplificaciones y aproximaciones que puedan estar justificadas, bien en una parte o bien en todo el problema, y que van a repercutir en la imprecisión del resultado, lo que habrá que tener en cuenta para presentar correctamente el resultado numérico final.
Si no se tienen en cuenta todas estas consideraciones de las que hemos hablado hasta ahora, el resultado del problema, aun estando bien calculado, podría ser engañoso o difícil de apreciar en su auténtica magnitud y precisión.
Error y precisión de un dato o un resultado
En cualquier problema científico que no sea de matemática pura, los datos numéricos que se emplean tienen su origen en algún tipo de medida o en todo caso contienen un número limitado de cifras conocidas. Decimos que llevan asociados una imprecisión o incertidumbre que pueden ser debidas al error originado en su medida o simplemente a que no se conoce su valor exacto con una precisión del 100%. Lo mismo se puede decir del resultado de los problemas calculados empleando esos datos; el resultado también tendrá una imprecisión que limitará el número de sus cifras significativas, y que habrá que tener en cuenta al expresar la solución.
En este Enlace a la sección Mis trabajos de este mismo blog podrás encontrar un resumen muy breve pero riguroso donde se explica, a nivel de enseñanza media, cómo expresar y calcular errores o imprecisiones de magnitudes y cómo operar con ellos.
Cifras significativas y redondeo ¿Como tratar correctamente las cifras al resolver un problema?
Se entiende por cifras significativas de un número aquellas que tienen un significado real, como resultado de haber sido medidas o calculadas con exactitud, es decir, las que son portadoras de información. No tienen esta consideración los ceros a la izquierda o a la derecha, que sólo afectan al orden de magnitud que representa el número, ni las cifras de más que salen como resultado de hacer operaciones con otros números.
La calculadora no entiende de cifras significativas y “asume” que cualquier número con el que opera es exacto y tiene un número ilimitado de cc.ss., que son ceros. Por ejemplo, debemos admitir el valor numérico de 3,25 como 3,25??????... , pues sólo sabemos sus tres primeras cifras e ignoramos las siguientes, pero la calculadora lo procesará como 3,25000000…
Así que no hay que dejarse engañar por las cifras que arroja la cuenta de la calculadora. Las últimas no tiene significado real, y por lo tanto no deben ser consideradas. Hay que tener un criterio para saber cuáles son significativas y ceñirse sólo a éstas.
Los datos del problema corresponden a magnitudes reales y tienen unas cifras que suponemos ciertas, pero no tenemos información de qué cifras siguen a las que se nos muestran. Hay que fijarse en cuántas cifras significativas tienen los datos de partida y en consecuencia saber cuántas son las cifras significativas que va a tener el resultado final.
Por cierto, el número de cifras significativas no tienen nada que ver con el número de decimales.
Se resumen a continuación las reglas para la identificación y la operación de cifras significativas.
Redondeo de una cifra según sea la cifra c siguiente:
- Si c < 5 à se deja como estaba
- Si c > 5 à se aumenta una más
- Ejemplo: El redondeo del número 1035,27 sería, a la décima: 1035,3; a la unidad: 1035; y a la decena: 1040
Para determinar qué cifras de un número dado son significativas:
- Todas las cifras distintas de 0 y los 0 entre ellas son significativas.
- Ningún 0 a la izquierda de la primera cifra distinta de 0 es significativo.
- Los ceros a la derecha de la última cifra distinta de 0 son significativos si son decimales, o si siendo enteros se indica explícitamente, en caso contrario no son significativos.
- Ejemplo: Algunos números con sus cc.ss. (en negrita) y el resultado de su redondeo a 3 cc.ss. o a 1 decimal
número
|
cc.ss.
|
Redondeo a 3 cc.ss.
|
Redondeo a 1 decimal
|
2,063
|
4
|
2,06
|
2,1
|
20630
|
4
|
20600
|
20630
|
0,2063
|
4
|
0,206
|
0,2
|
20,630
|
5
|
20,6
|
20,6
|
2,0630 .10-3
|
5
|
2,06
|
0,0
|
Operaciones con cifras significativas:
- La suma o resta de varios números tendrá tantas cifras decimales como el sumando que menos tenga
- El producto o cociente entre dos números tendrá las mismas cc.ss. que el factor que menos tenga
- Ejemplos: 4,3 + 0,030 + 7,31 = 11,6 ; 12,5 x 0,087 = 1,1
Como norma general, el resultado de un problema nunca debería presentar más cifras significativas que las que se muestran en los datos, ni por supuesto menos.
Finalmente, veamos un ejemplo de cómo tratar correctamente las cifras en la solución de un problema.
Ejemplo: Hallar el área de la cara de una moneda de 12 mm de radio.
En ocasiones se conoce la imprecisión de la magnitud (pongamos que se haya medido con una regla milimetrada) y se hace patente expresándolo así:
R = 12 + 1 mm
Lo más normal es que no sepamos el error que originó esa medida, y solo dispongamos del dato (12 mm). En este caso deberemos asumir que sólo conocemos dos cifras significativas, y que la segunda (el 2) es el valor resultante del redondeo de una tercera cifra que desconocemos (entre 12,4 y 11,5)
Aplicamos: A = pR2 resultando: A = 452,3904 mm2
Pero ese número no debería darse como resultado. No tiene un formato muy adecuado y le sobran cifras. Dadas la precisión del dato de partida, habrá que redondear hasta la segunda cifra significativa:
A = 450 mm2
Finalmente, el mm2 no parece una unidad muy adecuada para presentar la solución, por ser poco intuitiva, es mejor en cm2 o incluso en m2 (sistema internacional) por si se fuese a utilizar esta respuesta en cálculos de ulteriores problemas más complejos, prefiriendo para este caso el formato en notación científica). Resultando finalmente:
A = 4,5 cm2 o si se considera conveniente: A = 4,5.10-4 m2
Aun estando bien calculado, no sería apropiado dar el resultado, de ninguna de las siguientes formas (justifica por qué)
452,4 mm2 ; 452 mm2 ; 4,52 cm2 ; 4,5 ; 4,50 cm2 ; 0,00045 m2
Estimaciones
A veces surge un problema para el que no podemos disponer de los datos de partida, bien porque los desconozcamos o por que sean imposibles de medir con exactitud. Por ejemplo, averiguar el número de granos de arena que hay en una playa. En estos casos en los que no se puede hacer un cálculo más o menos exacto, en vez de renunciar a la solución al problema, podemos recurrir a hacer una estimación del resultado. Aquí lo importante no es la cifra exacta sino su orden de magnitud (En el ejemplo de la playa, si estamos hablando de millones, de miles de millones, de billones o de trillones de granos).
Estimar una cantidad no es lo mismo que aventurar un valor al azar, sino que requiere criterio, sentido común, seguir unas reglas, hacer algunos cálculos y cierta creatividad.
Para hacer una buena estimación es aconsejable proceder como se describe a continuación:
- Modelizar o definir concretamente el problema.
- Adoptar un compromiso entre la precisión que se quiera y se pueda conseguir.
- Establecer las premisas del cálculo recurriendo a hipótesis y aproximaciones razonables, y proceder a calcular.
Un ejemplo práctico y secuenciado de como hacer una estimación de este tipo puedes encontrarlo en la última entrada de este blog: ¿Cuántos granos de arena hay en una playa?
En otro orden de cosas, al resolver un problema suele ser muy útil el hacer una estimación rápida del orden de magnitud del resultado antes de empezar con las operaciones, de este modo podemos saber si el resultado es compatible con lo esperado y comprobar que no nos hayamos equivocado tras hacer el cálculo. (Ver el ejemplo al final: “Hallar la fuerza de gravedad con la que se atraen la Tierra y la Luna”)
Como ejemplo y ¿por qué no? también como reto, se adjuntan 8 propuestas de estimaciones de diferente nivel de dificultad.
Algunas estimaciones propuestas
1) ¿Cuántos gramos de maíz hay almacenados en un silo cilíndrico de 2 m de diámetro y 4 m de alto que esté completamente lleno?
- Pista: Cuenta, por ejemplo, los granos que caben en un vaso graduado de 100 cm3 y halla el volumen del silo.
- Resultado: Unos 63 millones de granos
2) ¿A cuántos km/h de velocidad crece tu cabello?
- Pista: ¿con qué frecuencia vas a la peluquería? ¿cuánto te lo cortas?
- Resultado: 1,4 .10-8 km/h = 4 nm/s
3) ¿Cuánto se tardaría en llenar una bañera con un cuentagotas si pudiéramos evitar la evaporación?
- Pista: Decide condiciones: que lo haga una persona normal que coma y duerma y que se dedique sólo a eso, bañera normal, volumen promedio de una gota, velocidad a la que se pueden contar gotas, etc.
- Resultado: Tardaría unos dos meses.
4) ¿Cuántos kilogramos y cuántas moléculas de oxígeno hay dentro tu habitación?
- Pista: El oxígeno es sólo una parte del aire y es un gas bastante ideal. Estima el volumen de la habitación lo mejor posible según su forma y ten en cuent la presión y temperatura a que está.
- Resultado: Una estancia de 60 m3 a 20ºC contiene 17 kg de oxígeno, unos trescientos trillones de moléculas
5) En una carrera de 100 metros lisos ¿Qué desventaja tendría el corredor de la calle 8 con respecto al de la calle1, si se da la salida con un disparo de un juez situado junto a esta calle?
- Pista: Estima la anchura de las calles y cómo se propaga la señal del disparo.
- Resultado: 2,4 décimas, equivalente a salir entre 24 y 30 cm retrasado.
6) ¿Cuánta destrucción se podría conseguir con un gramo de antimateria?
- Pista: La clave está en la famosa ecuación E=mc2 y comparar con la energía de las bombas.
- Resultado: Unos 48 kilotones, algo más que las dos bombas atómicas lanzadas sobre Japón juntas.
7) Si todos los habitantes del planeta se colocaran alineados a lo largo del ecuador, ¿a qué distancia quedarían unos de otros?
- Pista: Partir de los datos de la población y el radio terrestre.
- Resultado: 49 m de separación.
8) Continuando con la cuestión anterior, si a partir de un momento dado se pusieran todos a caminar o nadar a la vez hacia el este, ¿en qué medida cambiaría esto la duración de un día?
- Pista: Se conservaría el momento angular de la Tierra y sus habitantes, y habría que hacer una estimación verosímil de sus momentos de inercia.
- Resultado: El día sólo duraría 1,6 milésimas de segundo más, retraso que se recuperaría en cuanto se detuviesen.
Cómo proceder para resolver un problema numérico evitando errores de cálculo y presentar finalmente el resultado de forma correcta.
Veamoslo con un ejemplo de física del nivel de Enseñanza Media:
Hallar la fuerza de gravedad con la que se atraen la Tierra y la Luna. Datos: G = 6,67 .10-11 Nm2kg-2; MT = 5,97.1024 kg ; ML = 7,35.1022 kg ; dTL = 389 400 km
Resolución:
Aplicamos la ley de gravitación universal: F = G MT ML/ d2 y sustituimos los valores de las magnitudes en las unidades adecuadas, en este caso unidades SI: kg, m, s:
F = 6,67 .10-11. 5,97 .1024. 7,35 .1022 / 389 400 000 2
Operamos y expresamos el resultado apropiadamente: F = 1,93 .1020 N
¡Ojo! Para evitar equivocaciones y dar un resultado con garantías de que sea el correcto:
Es bastante fácil equivocarse al tratar de resolver con la calculadora una cuenta de este tipo. Es necesario levantar y bajar la vista 10 veces, memorizando y tecleando cada número u operación y para esto es preciso acertar nada menos que ¡42 veces! en las teclas correctas. Por experiencia propia y ajena, puedo asegurar que el riesgo de cometer algún error durante esta operación y fallar el resultado es muy elevado.
Para no equivocarnos es conveniente:
- Evitar cuentas intermedias, ir arreglando algebraicamente la expresión y dejar el cálculo para el final.
- Separar las cifras de las potencias de diez, procurando dejar las cifras como unidad o decenas y decimales, y operar cada grupo por separado.
- Evaluar aproximadamente el orden de magnitud del resultado, sobre todo fijándonos en la potencia de 10 que vaya a resultar finalmente, y comparar con lo que cabría esperar.
- Hacer la cuenta final con la calculadora y comparar con lo previsto. Si se observa discrepancia, volver a revisar la cuenta.
Teniendo en cuenta lo anterior, sería aconsejable proceder de la siguiente manera:
Resolución mejorada, paso a paso:
Tras sustituir los valores en la expresión, ordenamos separando cifras y potencias de 10
F = (6,67. 5,97. 7,35 / (3,894 .108)2 ) .10-11. 1024. 1022 = (6,67. 5,97. 7,35 / 3,8942) .10-16. 10-11. 1024. 1022
F= (6,67. 5,97. 7,35 / 3,894. 3,894). 10-10-11+24+22
Antes de utilizar la calculadora, hacemos una valoración rápida de por dónde puede ir el resultado estimando a ojo el orden de magnitud de las cifras y sumando o restando los exponentes de las potencias de 10:
6,67. 6,0. 7,35 / 3,894. 3,894 ~ 6 .6 .7 / 4 .4 ~ 20
10-16-11+24+22 = 1019
Se ha estimado estima que debería darnos alrededor de 20 .1019 = 2 .1020 N, que es una fuerza muy grande, como cabría esperar de la atracción entre un planeta y su satélite.
A continuación resolvemos la cuenta exacta con la calculadora (resulta 19,301701 .1019) y verificamos que no nos hemos equivocado, ya que cumple con lo previsto.
Finalmente presentamos el resultado en las unidades adecuadas (N) y en notación científica con las cifras significativas convenientes que, dados los datos de los que partimos, no deberían ser más de tres (la tercera redondeada):
Resultado: F = 1,93 .1020 N