¿En serio que nos vamos a poner a contar ahora todos los granos de arena que hay en una playa? Por supuesto que no. Aparte de que a nadie le importa ni falta que hace, hacer ese recuento para obtener un número exacto llevaría un tiempo descomunalmente grande. Pero si aun así tenemos curiosidad por saberlo, hay que decir que lo importante no es la cifra exacta sino su orden de magnitud. Es decir, si estamos hablando de millones, de miles de millones, de billones o de trillones de granos. En casos como este se recurre a hacer una estimación. Estimar una cantidad no es lo mismo que aventurar un valor a ojo, sino que requiere buen criterio, sentido común, seguir unas reglas, hacer algunos cálculos y un poco de creatividad.
Por cierto, he hecho una estimación del tiempo que tardaría una cuadrilla de 200 personas infatigables en contar los granos de arena de la playa descrita en esta entrada, a razón de 2 granos por segundo y sin pararse para comer ni dormir. Les llevaría ¡un millón de años! Para conseguirlo, además de infatigables tendrían que ser inmortales.
La pregunta que encabeza este artículo está tomada de un ejercicio del libro de Física de Tipler, ejemplo del capítulo referido al Orden de Magnitud. (P. Tipler, G. Mosca. Física para la ciencia y la tecnología Vol.1. Reverté. 6ª Ed, 2010). Ejemplo 1.7 pág 13.
Aceptemos pues el reto. Para describir cómo debe abordarse de una forma metódica una cuestión de estas características, vamos a hacer un cálculo estimativo de cuántos granos de arena puede haber en una playa, pero no en una playa genérica, sino en mi playa favorita: La playa de Patos, en el municipio de Nigrán (Pontevedra).
La playa de Patos está situada en la boca de la ría de Vigo, abierta a las aguas frías del Atlántico, pero protegida por las islas Cíes, que se alzan frente a ella ofreciendo una vista espectacular. Por sus buenas olas es un lugar ideal para la práctica del surf. Puede que no sea la más bonita de las bellísimas playas de las Rías Baixas, pero es mi favorita porque forma parte de mi vida y disfruto de ella todos los veranos junto a mi familia.
Foto: Playa de Patos en Nigrán (Pontevedra). Bonita playa, pero hay demasiada arena como para ponerse contar los granos, ¡qué pereza!, pero no nos vamos a quedar con la duda.
Estimación del número de granos de arena de la playa de Patos de Nigrán
1º Definición concreta del problema
En este caso es preciso establecer qué define la extensión de la playa. Como esto puede ser subjetivo, vamos a considerar la playa como el arenal comprendido desde los límites laterales a los que se refiere la geografía y toponimia de la misma; la anchura comprendida entre la parte superior cuyo límite viene definido por taludes, muros, paseos o caminos y la línea promedio de la orilla entre la bajamar y la pleamar. Es decir, lo que es la playa con ese nombre que por término medio pueden disfrutar los bañistas sin mojarse. Es importante empezar acotando bien el problema, ya que el resultado de la estimación podría ser desde diez veces mayor o disminuir hasta la décima parte.
2º Compromiso en la precisión de la estimación
¿Cuánta precisión en el recuento de granos de arena deseamos o podemos realmente alcanzar? Por un lado, la precisión de esta estimación quedaría bastante limitada por la propia arbitrariedad de hasta dónde decidimos que llega la playa, y por la imprecisión añadida debida a las aproximaciones e idealizaciones a las que vamos a tener que recurrir. Por otra parte, lo que nos interesa saber en este caso no es una cifra más o menos exacta, sino el orden de magnitud que la afecta, ¿unos millones? ¿unos billones? Con eso ya sería más que suficiente.
3º Establecer las premisas del cálculo recurriendo a hipótesis y aproximaciones razonables
3.1 Dimensiones de la playa
Como se ve en la figura (tomada de Google Earth), la playa tiene aproximadamente una longitud de unos 1000 m y una anchura de 20 m en sus extremos y de unos 80 m en su parte central. La curvatura de la orilla no es muy grande en comparación con su longitud. Estas distancias se pueden medir en cualquier aplicación de mapas o, en este caso, sencillamente paseando por la playa, a ojo y contando el tiempo. Hay coincidencia.
Para estimar su superficie total podríamos idealizar la forma de la playa como se muestra en el dibujo que se ve que es equivalente al área de un rectángulo de aproximadamente 1000 x 50 m
La estimación más arbitraria es la de la profundidad del arenal. No es uniforme, ya que la capa de arena se va haciendo más gruesa cuanto más nos alejemos de la orilla. Por otra parte, decir hasta qué profundidad de arena se le puede seguir llamando “playa” es una cuestión subjetiva, ¿profundidad hasta tocar el sustrato rocoso?, ¿hasta el nivel del mar en la orilla a media marea? Observando cómo es, más o menos, el terreno circundante y la pendiente media de la playa, hemos hecho una estimación promedio de unos 3 m de profundidad. De cualquier modo, estamos hablando de un orden de magnitud de metros, no decenas ni centenas de metros, con lo que esta estimación no va a ser demasiado relevante en el orden de magnitud del resultado final.
Finalmente, las dimensiones que vamos a considerar son:
- Longitud: l = 1000 m ; anchura: a = 50 m ; profundidad: h = 3 m
3.2 Forma y tamaño de los granos de arena
Una aproximación bastante razonable es considerar los granos, en su infinidad y diversidad, como si fuesen todos pequeñas esferas iguales de determinado diámetro promedio. Esto facilita indudablemente los cálculos, pero habrá que afinar lo mejor posible el diámetro que vamos a estimar. El tamaño de los granos de una playa varía por zonas: en general son más gruesos cuanto más alejados estén de la orilla del mar y a menos profundidad estén enterrados, mientras que los más finos están hacia el mar y más enterrados en la playa. En este caso estimaremos un diámetro promedio observando el aspecto de los granos de la orilla y los de más arriba, resultando una variedad de tamaños comprendida aproximadamente entre 0,01 y 0,5 mm (esto es fácil de estimar desparramando un poco de arena junto a una reglita milimetrada y la ayuda de una lupa). Tomaremos como diámetro el valor medio.
- Diámetro de los granos: D = 0,25 mm
3.3 Grado de empaquetamiento de los granos
Los granos se han ido apilando con el paso del tiempo y el efecto de las corrientes, las mareas, el vientol y la gravedad, hasta formar el arenal de la playa. Esto permite suponer que han tenido tiempo para encontrar la forma de empaquetamiento más estable, que es la que menos huecos deja entre unos granos y otros. Como hemos idealizado granos de forma esférica, el mayor grado de empaquetamiento posible es el hexagonal compacto, que tiene un factor de empaquetamiento (razón entre la suma de los volúmenes de los granos y el volumen total que llenan, espacios vacíos incluidos) que es de un 74%. A la hora de hallar el número de granos totales, tendremos que corregir el cociente entre el volumen de la playa y el volumen de un grano multiplicando por este factor.
- Factor de empaquetamiento estimado: E = 0,74
4º Cálculos y resultado de la estimación
- Volumen de un grano de arena: VG
- Volumen de playa: VPV
- Número de granos de arena: N
Dadas las aproximaciones realizadas y la arbitrariedad en la definición del problema, estaría bien quedarnos sólo con una cifra significativa que en este caso coincide con redondear al orden de magnitud que viene dado por la potencia de diez.
En conclusión, podemos afirmar que la playa tiene aproximadamente unos 1016 (10 000 000 000 000 000) granos de arena, es decir, unos diez mil billones de granos.
Generalización:
Aprovechando lo razonado en este caso, podemos generalizar una fórmula para estimar el número N de granos de arena de cualquier playa, en función de los valores promedio estimados para la longitud l, anchura a y profundidad h del arenal, y el diámetro D de los granos:
N = 1,44 l a h / D3
Una observación final:
Es curioso el efecto que tendría el resultado final el hecho de haber considerado valores bastante diferentes en las dimensiones de partida, como por ejemplo suponer el doble o la mitad de anchura, longitud o profundidad de la arena, o el doble o la mitad del diámetro de los granos. Aunque esto llevaría a doblar o reducir a la mitad tamaño de la playa y el número total de granos, no cambiaría significativamente el orden de magnitud del resultado, es decir, seguiríamos hablando igualmente de decenas de miles de billones.
Comparativa:
Cien mil granos por cada estrella que hay en nuestra galaxia (1011)
Diez mil granos por cada galaxia del universo observable (2.1012)
Pero sorprendentemente, hay mil veces más insectos viviendo en el planeta (1019) que arenitas reposando en la playa.
Y hay nada menos que mil millones de veces más moléculas en un vaso de agua (1025,) que granos de arena en toda en la playa.