¿Cuántos granos de arena hay en una playa?

 

¿En serio que nos vamos a poner a contar ahora todos los granos de arena que hay en una playa? Por supuesto que no. Aparte de que a nadie le importa ni falta que hace, hacer ese recuento para obtener un número exacto llevaría un tiempo descomunalmente grande. Pero si aun así tenemos curiosidad por saberlo, hay que decir que lo importante no es la cifra exacta sino su orden de magnitud. Es decir, si estamos hablando de millones, de miles de millones, de billones o de trillones de granos. En casos como este se recurre a hacer una estimación. Estimar una cantidad no es lo mismo que aventurar un valor a ojo, sino que requiere buen criterio, sentido común, seguir unas reglas, hacer algunos cálculos y un poco de creatividad.

Por cierto, he hecho una estimación del tiempo que tardaría una cuadrilla de 200 personas infatigables en contar los granos de arena de la playa descrita en esta entrada, a razón de 2 granos por segundo y sin pararse para comer ni dormir. Les llevaría ¡un millón de años! Para conseguirlo, además de infatigables tendrían que ser inmortales.

La pregunta que encabeza este artículo está tomada de un ejercicio del libro de Física de Tipler, ejemplo del capítulo referido al Orden de Magnitud. (P. Tipler, G. Mosca. Física para la ciencia y la tecnología Vol.1. Reverté. 6ª Ed, 2010). Ejemplo 1.7 pág 13.

Aceptemos pues el reto. Para describir cómo debe abordarse de una forma metódica una cuestión de estas características, vamos a hacer un cálculo estimativo de cuántos granos de arena puede haber en una playa, pero no en una playa genérica, sino en mi playa favorita: La playa de Patos, en el municipio de Nigrán (Pontevedra).

La playa de Patos está situada en la boca de la ría de Vigo, abierta a las aguas frías del Atlántico, pero protegida por las islas Cíes, que se alzan frente a ella ofreciendo una vista espectacular. Por sus buenas olas es un lugar ideal para la práctica del surf.  Puede que no sea la más bonita de las bellísimas playas de las Rías Baixas, pero es mi favorita porque forma parte de mi vida y disfruto de ella todos los veranos junto a mi familia.

Foto: Playa de Patos en Nigrán (Pontevedra). Bonita playa, pero hay demasiada arena como para ponerse contar los granos, ¡qué pereza!, pero no nos vamos a quedar con la duda.

 

 

Estimación del número de granos de arena de la playa de Patos de Nigrán

 

1º Definición concreta del problema

En este caso es preciso establecer qué define la extensión de la playa. Como esto puede ser subjetivo, vamos a considerar la playa como el arenal comprendido desde los límites laterales a los que se refiere la geografía y toponimia de la misma; la anchura comprendida entre la parte superior cuyo límite viene definido por taludes, muros, paseos o caminos y la línea promedio de la orilla entre la bajamar y la pleamar. Es decir, lo que es la playa con ese nombre que por término medio pueden disfrutar los bañistas sin mojarse. Es importante empezar acotando bien el problema, ya que el resultado de la estimación podría ser desde diez veces mayor o disminuir hasta la décima parte.

 

2º Compromiso en la precisión de la estimación

¿Cuánta precisión en el recuento de granos de arena deseamos o podemos realmente alcanzar? Por un lado, la precisión de esta estimación quedaría bastante limitada por la propia arbitrariedad de hasta dónde decidimos que llega la playa, y por la imprecisión añadida debida a las aproximaciones e idealizaciones a las que vamos a tener que recurrir.  Por otra parte, lo que nos interesa saber en este caso no es una cifra más o menos exacta, sino el orden de magnitud que la afecta, ¿unos millones? ¿unos billones? Con eso ya sería más que suficiente.

 

3º Establecer las premisas del cálculo recurriendo a hipótesis y aproximaciones razonables

3.1 Dimensiones de la playa

Como se ve en la figura (tomada de Google Earth), la playa tiene aproximadamente una longitud de unos 1000 m y una anchura de 20 m en sus extremos y de unos 80 m en su parte central. La curvatura de la orilla no es muy grande en comparación con su longitud. Estas distancias se pueden medir en cualquier aplicación de mapas o, en este caso, sencillamente paseando por la playa, a ojo y contando el tiempo. Hay coincidencia.

Para estimar su superficie total podríamos idealizar la forma de la playa como se muestra en el dibujo que se ve que es equivalente al área de un rectángulo de aproximadamente 1000 x 50 m

La estimación más arbitraria es la de la profundidad del arenal. No es uniforme, ya que la capa de arena se va haciendo más gruesa cuanto más nos alejemos de la orilla. Por otra parte, decir hasta qué profundidad de arena se le puede seguir llamando “playa” es una cuestión subjetiva, ¿profundidad hasta tocar el sustrato rocoso?, ¿hasta el nivel del mar en la orilla a media marea? Observando cómo es, más o menos, el terreno circundante y la pendiente media de la playa, hemos hecho una estimación promedio de unos 3 m de profundidad. De cualquier modo, estamos hablando de un orden de magnitud de metros, no decenas ni centenas de metros, con lo que esta estimación no va a ser demasiado relevante en el orden de magnitud del resultado final.

Finalmente, las dimensiones que vamos a considerar son:

• Longitud:  l = 1000 m ; anchura:  a = 50 m ; profundidad: h = 3 m

 

3.2 Forma y tamaño de los granos de arena

Una aproximación bastante razonable es considerar los granos, en su infinidad y diversidad, como si fuesen todos pequeñas esferas iguales de determinado diámetro promedio. Esto facilita indudablemente los cálculos, pero habrá que afinar lo mejor posible el diámetro que vamos a estimar. El tamaño de los granos de una playa varía por zonas: en general son más gruesos cuanto más alejados estén de la orilla del mar y a menos profundidad estén enterrados, mientras que los más finos están hacia el mar y más enterrados en la playa. En este caso estimaremos un diámetro promedio observando el aspecto de los granos de la orilla y los de más arriba, resultando una variedad de tamaños comprendida aproximadamente entre 0,01 y 0,5 mm (esto es fácil de estimar desparramando un poco de arena junto a una reglita milimetrada y la ayuda de una lupa). Tomaremos como diámetro el valor medio.

•  Diámetro de los granos:  D = 0,25 mm

  

3.3 Grado de empaquetamiento de los granos

Los granos se han ido apilando con el paso del tiempo y el efecto de las corrientes, las mareas, el vientol y la gravedad, hasta formar el arenal de la playa. Esto permite suponer que han tenido tiempo para encontrar la forma de empaquetamiento más estable, que es la que menos huecos deja entre unos granos y otros. Como hemos idealizado granos de forma esférica, el mayor grado de empaquetamiento posible es el hexagonal compacto, que tiene un factor de empaquetamiento (razón entre la suma de los volúmenes de los granos y el volumen total que llenan, espacios vacíos incluidos) que es de un 74%.  A la hora de hallar el número de granos totales, tendremos que corregir el cociente entre el volumen de la playa y el volumen de un grano multiplicando por este factor.

•  Factor de empaquetamiento estimado: E = 0,74

 

4º Cálculos y resultado de la estimación

•       Volumen de un grano de arena: V_G

            _VG  = 4p R³ / 3 = 4p (0,25/2)³ / 3  = 8,18 .10^-3 mm³ = 8,18 .10^-12 m³

•       Volumen de playa: V_PV

          V_P = l a h = 1000 . 50 . 3 = 1,5 .10⁵ m³

•       Número de granos de arena: N 

         N = E (V_P / V_G) = 0,74 (1,5 .10⁵ / 8,18 .10^-12) = 1,4 .10¹⁶ granos de arena

Dadas las aproximaciones realizadas y la arbitrariedad en la definición del problema, estaría bien quedarnos sólo con una cifra significativa que en este caso coincide con redondear al orden de magnitud que viene dado por la potencia de diez.

En conclusión, podemos afirmar que la playa tiene aproximadamente unos 10¹⁶ (10 000 000 000 000 000) granos de arena, es decir, unos diez mil billones de granos.

Generalización:

Aprovechando lo razonado en este caso, podemos generalizar una fórmula para estimar el número N de granos de arena de cualquier playa, en función de los valores promedio estimados para la longitud l, anchura a y profundidad h del arenal, y el diámetro D de los granos:

N = 1,44  l a h / D³

Una observación final:

Es curioso el efecto que tendría el resultado final el hecho de haber considerado valores bastante diferentes en las dimensiones de partida, como por ejemplo suponer el doble o la mitad de anchura, longitud o profundidad de la arena, o el doble o la mitad del diámetro de los granos.  Aunque esto llevaría a doblar o reducir a la mitad tamaño de la playa y el número total de granos, no cambiaría significativamente el orden de magnitud del resultado, es decir, seguiríamos hablando igualmente de decenas de miles de billones.

 

Comparativa:

Comparando con otras cantidades estimadas para otros conjuntos, en una playa como la de Patos hay aproximadamente… 

 

Mil setecientos millones de granos de arena por cada persona que hay en el mundo (8,2. 10⁶).

 
Cien mil granos por cada estrella que hay en nuestra galaxia (10¹¹)

 
Diez mil granos por cada galaxia del universo observable (2.10¹²)

 
Pero sorprendentemente, hay mil veces más insectos viviendo en el planeta (10¹⁹) que arenitas reposando en la playa.

 
Y hay nada menos que mil millones de veces más moléculas en un vaso de agua (10^25,) que granos de arena en toda en la playa.

 

 

 

 

 

 

 

 

El benceno soñado por Kekulé

Serendipias de la FQ (III)

El descubrimiento de la estructura molecular del benceno por el químico alemán F. A. Kekulé es uno de los episodios más legendarios de la historia de la química moderna. Según afirmó el propio Kekulé, la idea se le reveló durante un sueño. Fue una cuestión de azar ¿o tal vez no lo fue tanto? 

   

Kekulé y el descubrimiento de la estructura del benceno. Sello de 1979 de la república democrática alemana 

 

El benceno. Un hidrocarburo singular

El benceno fue identificado por primera vez en 1825 por el científico británico Michael Faraday como un líquido incoloro de peculiar aroma a partir de los residuos del gas utilizado para la iluminación de la ciudad de Londres en aquel tiempo. Se trataba sin duda de un hidrocarburo, compuesto de carbono e hidrógeno, pero de propiedades especiales que lo hacían diferente a los demás hidrocarburos conocidos. Denominado ya como benceno y conocida su fórmula molecular C₆H₆ , el benceno y sus derivados de propiedades químicas parecidas, fueron clasificados años más tarde en una nueva categoría de hidrocarburos, los hidrocarburos aromáticos, debido a sus marcadas diferencias de reactividad, estructura y saturación, así como a los intensos y fragantes aromas que presentaban la mayoría de sus compuestos derivados, a diferencia de los demás hidrocarburos ordinarios o alifáticos.

El benceno es el hidrocarburo aromático más sencillo, es un compuesto químico de importancia fundamental para la química tanto a nivel teórico como aplicado y hace ya mucho tiempo que la estructura y composición de sus moléculas han dejado de ser un misterio.

Sus moléculas tienen una geometría plana y perfectamente simétrica en la que seis átomos de carbono se enlazan uno tras cerrando un anillo hexagonal con un átomo de hidrógeno enlazado a cada carbono, hacia el exterior y en el mismo plano, resultando 120º exactos para todos los ángulos de enlace C-C-C  y C-C-H. Igualmente, los enlaces entre los carbonos del anillo son todos exactamente iguales y se caracterizan por una distancia de enlace intermedia entre un enlace simple C-C y uno doble C=C, dejando una nube de 6 electrones deslocalizados sobre ambas caras del anillo. Esta peculiar estructura (aromaticidad) es la responsable de que el anillo del benceno sea tan estable (difícil de romper) y tenga una reactividad química tan característica y diferente a la de los demás hidrocarburos.

Como consecuencia de esta estructura singular, el benceno es un líquido apolar insoluble en agua, bastante inerte o poco reactivo, pero a su vez es capaz de dar algunas reacciones características de los compuestos aromáticos, como la sustitución de hidrógeno por grupos funcionales de todo tipo.

El benceno y sus derivados están presentes en todos los ámbitos de nuestra vida. Es el punto de partida de muchos plásticos, colorantes, perfumes e insecticidas, pero también forma parte de la estructura de un número ilimitado biomoléculas y medicamentos; además, el benceno es la unidad estructural elemental del grafeno, que promete una revolución en la industria de los nuevos materiales.

El benceno es indudablemente un compuesto químico excepcional por todo lo que ha significado en el desarrollo de la química teórica y aplicada, incluida su didáctica, y por sus innumerables aplicaciones industriales. El descubrimiento y la descripción de su estructura molecular según los diferentes modelos y teorías del enlace químico constituyen uno de los grandes hitos en la historia de la química. Además, el icono de su estructura está considerado hoy como un símbolo de la química moderna. Pero ¿cómo se llegó a establecer la estructura molecular del benceno? Aquí es cuando aparece Kekulé y su sueño revelador.

 

La estructura del benceno ¿un problema sin solución?

Al comenzar la segunda mitad del siglo XIX el benceno ya era bien conocido por los químicos y empezaba a ser un compuesto de uso común en los laboratorios así como en la industria. Se conocían bien sus propiedades físicas y químicas, pero su estructura molecular era todavía una incógnita. De acuerdo con esas propiedades, se tenía por cierto que debería estar formado por pequeñas moléculas de 6 átomos de carbono y otros tantos de hidrógeno, lo que suponía una altísima insaturación (la equivalente a 2 enlaces dobles por cada 3 átomos de carbono), y que los 12 deberían estar enlazados entre si mediante enlaces covalentes C-C y C-H de tal manera que resultase una molécula muy estable y completamente apolar.

Por esas fechas, anteriores a la llegada de las modernas teorías cuánticas del enlace, la teoría que describía los enlaces covalentes que formaban las estructuras de todos los compuestos orgánicos del carbono era el modelo de Lewis, que para el caso de los hidrocarburos, teniendo en cuenta la tetravalencia del C y la monovalencia del H, asignaba un enlace para cada hidrógeno  y cuatro enlaces (un par electrones compartido en cada uno) a cada átomo de carbono, ya fuesen 4 simples, uno doble y dos simples o uno triple y uno simple. Por otro lado, en aquella época se daba por hecho que todos los hidrocarburos deberían estar formados de cadenas hidrocarbonadas lineales. Para entender el problema, ahora podemos coger papel y lápiz y entretenernos un rato en dibujar diferentes cadenas lineales de 6 carbonos, 6 hidrógenos, de tal manera que de cada C salgan 4 rayitas y una de cada H, y que el resultado sea una estructura lo suficientemente simétrica para justificar su apolaridad y que no se espere de ella la reactividad característica de los alquenos o alquinos convencionales. Ya adelanto que no vamos a encontrar ninguna. Esto mismo es lo que en aquella época traía de cabeza a los químicos. El benceno no encajaba en las sencillas reglas de enlace de Lewis y su estructura era un auténtico misterio.

 

El sueño de Kekulé

La solución al enigma de la estructura del benceno vendría de la mano del químico orgánico alemán F. August Kekulé (Darmstadt 1829 – Bonn 1896), considerado actualmente como uno de los grandes por sus aportaciones teóricas a la comprensión de la estructura molecular. Fue el propio Kekulé quién desarrolló en 1857 la teoría sobre la estructura química orgánica, basada en las estructuras de Lewis y la tetravalencia del carbono que, con algunas nuevas aportaciones como el concepto de resonancia, se sigue aplicando en el día de hoy para comprender y representar la estructura molecular de los compuestos orgánicos.

Por el año 1865 Kekulé, como muchos otros químicos, estaba ocupado con el problema de la de la molécula de benceno. Su fórmula C₆H₆ parecía imposible de conciliar con una disposición estable de sus enlaces que cumpliese las reglas de la estructura química. Y un buen día sucedió el hecho fortuito que habría de suponer la revelación del misterio: Kekulé tuvo un sueño que alguno podría calificar de profético, tal como él mismo relató en sus escritos.

No era la primera vez que un sueño inspiraba a Kekulé una idea feliz. En una ocasión, se quedó dormido mientras viajaba en un coche de caballos. Estaba exhausto después de largas jornadas de investigación teórica acerca del extraño fenómeno en virtud del cual muestras de sustancias puras de la misma composición y fórmula química mostraban propiedades que en ocasiones podían ser muy diferentes. Al despertar de aquel sueño fatigoso, vio que contenía la clave de la explicación del problema, que sería desde entonces el concepto de isomería química: la posibilidad de que una misma fórmula molecular pudiese responder a diferentes estructuras químicas.

Pero volvamos ahora al sueño del que trata este relato. Kekulé se encontraba en su hogar mientras leía sentado plácidamente frente a la chimenea. Arrullado por la luz y el calor del fuego y el crepitar de las brasas, no tardó en quedarse dormido con el libro aun en sus manos. A medida que se iba sumiendo en el sueño, percibía cómo las llamas en su vaivén se iban juntando y separando formando hileras sinuosas de luces, que en algún momento dejaron de serlo para ser átomos soñados que se unían y separaban aleatoriamente hasta formar largas cadenas que se retorcían serpenteando. En un momento dado percibió, según sus propias palabras, cómo “una de esas serpientes se había unido a su propia cola y la forma giraba con sorna ante mis ojos”. Esa imagen de la serpiente que se muerde la cola, el ancestral uroboros, que de forma tan persistente parecía como si le quisiera decir algo, fue interpretada por Kekulé como una señal reveladora que le mostraba la solución del problema que le ocupaba la cabeza por aquella época: La molécula del benceno… ¡Un anillo perfecto! Una cadena sin principio ni fin de seis carbonos con un átomo de hidrógeno cada uno, cerrada en un anillo hexagonal con tres dobles enlaces alternados. De este modo todo cuadraba ¿Por qué razón iba a tener que ser una cadena abierta como se pensaba comúnmente que tendrían que ser todos los hidrocarburos?

Y así es como Kekulé resolvió el problema de la estructura molecular del del benceno. Es cierto que la estructura propuesta tenía alguna pequeña limitación, como el hecho de que la alternancia de los 3 dobles enlaces C=C con los 3 simples C-C no conduciría a un hexágono rigurosamente perfecto, como sabemos que realmente es, ni que esta disposición explicaba por sí misma su estabilidad extra.

Estas limitaciones se corregirían más tarde con sucesivas contribuciones a la teoría del enlace como la resonancia entre formas canónicas de Pauling y posteriormente las teorías cuánticas del enlace de valencia y de los orbitales moleculares. De cualquier forma, la idea propuesta por Kekulé del anillo hexagonal plano con tres dobles enlaces conjugados sigue siendo válida y útil en la actualidad.

La propuesta de Kekulé sobre la estructura del benceno fue revolucionaria en aquel momento, pero más tarde se pudo confirmar experimentalmente que la molécula era plana, de simetría hexagonal y con un sistema de dobles enlaces conjugados consistente con la estructura de Kekulé. 

 

El Uroboros, la serpiente que se muerde la cola, el antiguo símbolo de la regeneración y de los continuos ciclos de la vida. (Ouroboros canvas print aged paper. wallandprints4u.com). A la derecha, La solución a la estructura del benceno propuesta por Kekulé, inspirada por su sueño y conforme con la teoría estructural de Lewis.

 

Diferentes maneras de representar el benceno

Las fórmulas químicas CH (empírica) y C₆H₆ (molecular) del benceno sólo hacen referencia a la composición del compuesto y al número de átomos que constituyen su unidad más elemental, es decir, su molécula; pero esto resulta poco práctico en la química orgánica. Por este motivo se recurre a las fórmulas estructurales que, además, muestran la estructura y la disposición de los enlaces de la molécula. Se muestran a continuación las representaciones más comunes del benceno.

 

1. Modelo de bolas. Maqueta que representa la composición atómica y forma geométrica de la molécula de forma realista.

2. Fórmula estructural desarrollada. Muestra todos los átomos de la molécula y sus enlaces. En este caso también sus ángulos y geometría.

3. Fórmula estructural de esqueleto. Explícitamente solo se muestran los enlaces entre átomos de carbono. Se supone un C en cada vértice, y se sobreentienden los H necesarios para que cada C tenga 4 enlaces en total. Es la forma más común de representación de la estructura del benceno.

4. Resonancia entre las dos formas canónicas posibles (estructuras de Kekulé) para los tres dobles enlaces.

5. Estructura de esqueleto alternativa que enfatiza el híbrido de resonancia entre las dos formas de Kekulé. El círculo interior representa al sistema de enlace homogéneo y deslocalizado formado por los 6 electrones de los enlaces dobles, que junto los 6 enlaces C-C localizados dan como resultado el ciclo o anillo aromático.

  

Algo más que un sueño

¿Podría considerarse que el descubrimiento de la estructura del benceno desencadenado por el sueño de Kekulé no es más que un acontecimiento esporádico producto del azar? ¿Se trata acaso de una revelación profética? Es evidente que no. Detrás hay mucho más.

Aunque esta historia del sueño revelador parezca una leyenda, fue el mismo Kekulé quien se encargó de relatarla tal y como aquí la contamos. Así consta en sus escritos y conferencias, por lo que, confiando en su propio testimonio, no tenemos ninguna razón para poner en tela de juicio su veracidad. Pero Kekulé no era ningún iluminado; en el momento en que se produjo su descubrimiento, era un reputado químico teórico totalmente dedicado a la investigación. Estaba al tanto de los últimos avances en la estructura atómica del enlace y él mismo había contribuido decisivamente a ello. Su sueño no surgió sin más en un cerebro anodino, ni tampoco parece verosímil que fuera una revelación profética. Hacía ya tiempo que Kekulé estaba preocupado y tal vez hasta obsesionado por el problema de la estructura del benceno, y a ello le estaba dedicando la mayor parte de su tiempo y esfuerzo como investigador. Así que parece bastante normal que su cerebro siguiese trabajando en sueños. De este modo parece normal que en algún momento saltase esa “chispa” que gracias a su conocimiento científico y experiencia no dudaría en interpretar y desarrollar correctamente. Merecido reconocimiento para August Kekulé.